2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一3.2 双曲线同步练习

试卷更新日期：2023-08-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 双曲线 $\frac{y^{2}}{2 a^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 (a \neq 0)$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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2. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，则它的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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3. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，以F为圆心， $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 为半径的圆F与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB为菱形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率 $e =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. 若双曲线的渐近线方程为 $y = \pm 3 x$ ，实轴长为 $2 a = 2$ ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{9} - x^{2} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{9} - x^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} - y^{2} = 1$

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5. 若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两条渐近线与椭圆 $M$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的四个交点及椭圆 $M$ 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 $M$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 1$ 交于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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7. 设A，B为双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(- 1 ， - 4)$

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8. 如图，已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0 ， n > 0)$ 有公共的焦点 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ ， $C_{1} ， C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1} ， e_{2}$ ，且在第一象限相交于点 $P$ ，则下列说法中错误的是（）

① 若 $a^{2} + 3 m^{2} = 4 c^{2}$ ，则 $b = \sqrt{3} n$ ；② 若 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 2$ ，则 $a^{2} - m^{2}$ 的值为1；③ $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积 $S = n b$ ；④ 若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则当 $e_{2} = \sqrt{3} e_{1}$ 时， $e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 取得最小值2．

A、①② B、②③ C、③④ D、②④

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二、多项选择题

9. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的上焦点为 $F$ ，过焦点 $F$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $A$ ，并与另一条渐近线交于点 $B$ ，若 $| F B | = 4 | A F |$ ，则 $C$ 的离心率可能为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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10. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{a^{2} - a + 4} = 1 (a > 0)$ ，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于点 $A$ ， $B$ ，则下列说法中正确的是（）

A、双曲线 $C$ 离心率的最小值为 $4$ B、离心率最小时双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ C、若直线 $l$ 同时与两条渐近线交于点 $C$ ， $D$ ，则 $| A C | = | B D |$ D、若 $a = 1$ ，点 $A$ 处的切线与两条渐近线交于点 $E$ ， $F$ ，则 $S_{△ E O F}$ 为定值

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11. 已知曲线 $C ： x^{2} + y^{2} c o s α = 1$ ， $α \in [0 ， π]$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线C可能是圆，也可能是直线 B、曲线C可能是焦点在 $y$ 轴上的椭圆 C、当曲线C表示椭圆时，则 $α$ 越大，椭圆越圆 D、当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 $\sqrt{2}$

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，渐近线方程为 $2 x \pm y = 0$ ， M为双曲线E上任意一点， $M N$ 平分 $∠ F_{1} M F_{2}$ ，且 $\vec{F_{1} N} \cdot \vec{M N} = 0$ ， $| O N | = 2$ ，则（）

A、双曲线的离心率为 $\sqrt{5}$ B、双曲线的标准方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、点M到两条渐近线的距离之积为 $\frac{16}{5}$ D、若直线 $M F_{1}$ 与双曲线E的另一个交点为P，Q为 $M P$ 的中点，则 $k_{O Q} \times k_{P M} = 4$

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三、填空题

13. 已知双曲线C的焦点为 $(- 2 ， 0)$ 和 $(2 ， 0)$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，则C的方程为．

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14. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的离心率为．

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15. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的右焦点F到其一条渐近线的距离为．

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16. 设 $F_{1} 、 F_{2}$ 为双曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (a > 0)$ 左、右焦点，且 $Γ$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，若点M在 $Γ$ 的右支上，直线 $F_{1} M$ 与 $Γ$ 的左支相交于点N，且 $| M F_{2} | = | M N |$ ，则 $| F_{1} N | =$ ．

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17. 过原点的直线 $l$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的左、右两支分别交于 $M$ ， $N$ 两点， $F (2 ， 0)$ 为 $C$ 的右焦点，若 $\vec{F M} \cdot \vec{F N} = 0$ ，且 $| \vec{F M} | + | \vec{F N} | = 2 \sqrt{5}$ ，则双曲线 $C$ 的方程为.

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18. 已知 $O$ 为坐标原点，直线 $y = x + 2$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线从左往右顺次交于 $A ， B$ 两点.若 $2 | O A | = | O B |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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19. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 的左支上， $| \vec{P F_{2}} | = 3 a$ ， $| \vec{P F_{1}} + \vec{P F_{2}} | = 2 b$ ，则 $C$ 的离心率为．

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20. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ . 点 $A$ 在 $C$ 上. 点 $B$ 在 $y$ 轴上， $\vec{F_{1} A} ⊥ \vec{F_{1} B} ， \vec{F_{2} A} = - \frac{2}{3} \vec{F_{2} B}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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四、解答题

21. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，直线 $l$ 过右焦点 $F_{2}$ 且与双曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点.

(1)、若双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，虚轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，求双曲线 $C$ 的焦点坐标；

(2)、设 $a = 1$ ， $b = \sqrt{3}$ ，若 $l$ 的斜率存在，且 $(\vec{F_{1} A} + \vec{F_{1} B}) \cdot \vec{A B} = 0$ ，求 $l$ 的斜率；

(3)、设 $l$ 的斜率为 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ ，且 $| \vec{O A} + \vec{O B} | = | \vec{O A} - \vec{O B} |$ ，求双曲线 $C$ 的离心率.

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22. 在平面直角坐标系中， $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0)$ ，曲线 $C$ 是由满足直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率之积等于定值 $λ (λ \in R)$ 的点 $P$ 组成的集合.

(1)、若曲线 $C$ 是一个圆（或圆的一部分），求 $λ$ 的值；

(2)、若曲线 $C$ 是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率 $e \geq \sqrt{2}$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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23. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，斜率为1的直线过双曲线C上一点 $A (2 \sqrt{3} ， \sqrt{3})$ 交该曲线于另一点B，且线段 $A B$ 中点的横坐标为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、已知点 $M (m ， n)$ 为双曲线C上一点且位于第一象限，过M作两条直线 $l_{1} ， l_{2}$ ，且直线 $l_{1} ， l_{2}$ 均与圆 $x^{2} + (y - n)^{2} = 1$ 相切．设 $l_{1}$ 与双曲线C的另一个交点为P， $l_{2}$ 与双曲线C的另一个交点为Q，则当 $| P Q | = 8 \sqrt{11}$ 时，求点M的坐标．

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24. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，右顶点为 $P$ ，点 $Q (0 ， b)$ ， $P F_{2} = 1$ ， $∠ F_{1} P Q = 60 °$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 经过点 $F_{2}$ ，且与双曲线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $△ F_{1} A B$ 的面积为 $6 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一3.2 双曲线 同步练习

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二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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