2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一3.1 椭圆同步练习

试卷更新日期：2023-08-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点P在椭圆C上， $| P F_{1} | = 4$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 已知焦点在y轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率是 $\frac{1}{2}$ ，则m的值是（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{15}{4}$ 或 $\frac{20}{3}$

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3. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3 + k} + \frac{y^{2}}{5 - k} = 1$ 的焦点在 $y$ 轴上，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(1 ， 5)$ C、 $(- 3 ， 5)$ D、 $(1 ， 3)$

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4. 已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点， $\vec{M O} = 3 \vec{O F}$ ，经过M的直线 $l$ 与C的一个交点为N，若△MNF是正三角形，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $2 - \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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5. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，直线 $A F_{1}$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $B$ ，在 $△ A B F_{2}$ 中， $| A F_{2} | ： | B F_{2} | ： | A B | = 3 ： 4 ： 5$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的蒙日圆为 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{3}{2} a^{2}$ ，过C上的动点M作 $Γ$ 的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交 $Γ$ 于A，B两点，则下列结论不正确的是（）

A、椭圆 $Γ$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $△ M P Q$ 面积的最大值为 $\frac{3}{4} a^{2}$ C、 $M$ 到 $Γ$ 的左焦点的距离的最小值为 $\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) a}{2}$ D、若动点D在 $Γ$ 上，将直线DA，DB的斜率分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{2}$

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7. 已知椭圆 $C$ 关于 $x$ 轴､ $y$ 轴均对称，焦点在 $y$ 轴上，且焦距为 $2 c (c > 0)$ ，若点 $A (c ， \frac{\sqrt{6}}{2} c)$ 不在椭圆 $C$ 的外部，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{6}}{3} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{6}}{3})$

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8. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的两个焦点，点 $N$ 是椭圆上的一动点，若 $0 \leq ∠ F_{2} N F_{1} < \frac{π}{2}$ ，则椭圆离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$

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9. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，上顶点为A，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过 $F_{1}$ 且为线段 $A F_{2}$ 的垂线 $l$ 交 $C$ 于 $M ， N$ 两点，则 $△ A M N$ 周长为（）

A、 $4 a$ B、 $3 a$ C、 $2 a$ D、 $2 a + 2 c$

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10. 若点P在椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆C的左右焦点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为（）．

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、4 D、1

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11. 已知 $F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左焦点， $P$ 为椭圆上任意一点，点 $Q$ 的坐标为 $(- 2 ， 1)$ ，则 $| P Q | + | P F |$ 的最小值为（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $8 - \sqrt{26}$ C、3 D、 $\sqrt{2} + \sqrt{5}$

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12. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，过C上任意一点P作圆C的切线l，交 $Γ$ 于A，B两点，过A，B分别作椭圆 $Γ$ 的切线，两切线交于点Q，则 $| O Q |$ （O为坐标原点）的最大值为（）

A、16 B、8 C、4 D、2

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二、多项选择题

13. 已如椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右两焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，其中 $| F_{1} F_{2} | = 2 c$ ，直线 $l ： y = k (x + c) (k \in R)$ 与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（）

A、若 $| A F_{2} | + | B F_{2} | = m$ ，则 $| A B | = 4 a - 2 m$ B、若 $A B$ 的中点为M，则 $k_{O M} \cdot k = - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ C、 $| A B |$ 的最小值为 $\frac{2 b^{2}}{a}$ D、若 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 3 c^{2}$ ，则椭圆的离心率的取值范围是 $[\frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{1}{2}]$

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14. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 和 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = λ (λ > 1)$ ，点 $M (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} y_{0} \neq 0)$ 在 $C_{1}$ 上，且直线 $x_{0} x + 4 y_{0} y = 4$ 与 $C_{2}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若点 $N$ 在 $C_{2}$ 上，使得 $\vec{O N} = \vec{O A} + \vec{O B}$ ，则下列结论正确的为（）

A、 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的离心率相等 B、 $λ = 2$ C、直线 $O N$ 、 $A B$ 的斜率之积为定值 D、四边形 $O A N B$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $y = t (t \in (0 ， 2))$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点（其中点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），记 $△ A B F_{1}$ 面积为 $S$ ，则（）

A、 $| F_{1} A | + | F_{1} B | = 4 \sqrt{2}$ B、 $A F_{1} ⊥ B F_{1}$ 时， $t = \sqrt{3}$ C、 $S$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ D、当 $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{π}{3}$ 时，点 $A$ 的横坐标为 $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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16. 已知椭圆 $C$ 的中心为坐标原点，焦点 $F_{1} ， F_{2}$ 在 $y$ 轴上，短轴长等于2，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，过焦 $F_{1}$ 作 $y$ 轴的垂线交椭圆 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{y^{2}}{3} + x^{2} = 1$ B、椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ C、 $| P Q | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $| P F_{2} | = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

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三、填空题

17. 椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上一点 $M$ 到左焦点 $F_{1}$ 的距离为6，则 $M$ 到右焦点 $F_{2}$ 的距离为.

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18. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的两个焦点， $P$ 是椭圆上的点，且 $| P F_{1} | ： | P F_{2} | = 2 ： 1$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积等于.

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19. 如图所示，平面直角坐标系 $x O y$ 中，四边形 $A B C D$ 满足 $A B ⊥ A D$ ， $C B ⊥ C D$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{B C} + 2 \vec{D A} \cdot \vec{D C} = 0$ ，若点 $A$ ， $C$ 分别为椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $b > 0$ ）的上､下顶点，点 $B$ 在椭圆 $E$ 上，点 $D$ 不在椭圆 $E$ 上，则椭圆 $E$ 的焦距为.

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20. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是椭圆外一点，线段 $P F_{1}$ 与 $C$ 交于点A， $△ P A F_{2}$ 的内切圆与 $P F_{2}$ 相切于点 $Q$ ，且内切圆圆心恰在线段 $A Q$ 上.设 $O$ 为坐标原点，若 $| O Q | = \sqrt{2} b$ ，则 $C$ 的离心率为.

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四、解答题

21. 焦点在 $x$ 轴上的椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ ，点 $P (\sqrt{2} ， 1)$ 在椭圆上.

(1)、求 $m$ 的值.

(2)、依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.

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22. 已知椭圆C的两个焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{2} ， 0)$ 和 $F_{2} (\sqrt{2} ， 0)$ ，点 $P (\sqrt{2} ， 1)$ 在椭圆上．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $M (1 ， 0)$ 作倾斜角为 $\frac{3}{4} π$ 的直线l交椭圆C于A、B两点，求线段 $A B$ 的长度．

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23. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $P (2 ， 1)$ ，且 $a = 2 b$ ．

(1)、求椭圆C的方程和离心率；

(2)、设O为原点，直线OP与直线l平行，直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线PM，PN分别与x轴交于点E，F．当E，F都在y轴右侧时，求证： $| O E | + | O F |$ 为定值．

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24. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线 $l$ 在y轴上的截距为m $(m \neq 0)$ ， $l$ 交椭圆于A，B两个不同点.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求m的取值范围；

(3)、求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

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25. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (1 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ ，点 $A$ 为其左顶点，且 $M A$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、 $P$ 、 $Q$ 为椭圆 $C$ 上两个动点，且直线 $A P$ 、 $A Q$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{6}$ ，求证直线 $P Q$ 过定点．

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26. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且经过点 $P (- 1 ， - \frac{3}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $R (0 ， 2)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M ， N$ （均与 $P$ 不重合），证明：直线 $P M ， P N$ 的斜率之和为定值．

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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一3.1 椭圆 同步练习

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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