2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一2.5 直线与圆、圆与圆的位置同步练习

试卷更新日期：2023-08-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是(　　)

A、在圆内 B、在圆上 C、在圆外 D、无法判断

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2. 设圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 4$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 0$ ，则圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的公切线有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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3. 已知M是圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则 $M$ 到直线 $y = k x + 1 (k \in R)$ 距离的最大值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2} + 1$ C、3 D、 $2 \sqrt{2} + 1$

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4. 已知集合 $A = {(x ， y) | (m^{2} + 1) x - 2 m (y + 1) = 0 ， m > 0}$ ， $B = {(x ， y) | x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 3 \leq 0}$ ，则集合 $A ∩ B$ 中的元素所构成的图形面积为（）

A、 $\frac{3}{2} π + 1$ B、 $\frac{3 π + 1}{2}$ C、 $2 π - 1$ D、 $2 π - \frac{1}{2}$

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5. 已知圆O： $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上有且只有两个点到直线l： $3 x - 4 y - 15 = 0$ 的距离为1，则圆O半径r的取值范围为（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $[2 ， 4]$ C、 $(2 ， 3]$ D、 $[3 ， 4)$

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6. 过坐标原点 $O$ 作直线 $l ： (a - 2) x + (a + 1) y + 6 = 0$ 的垂线，垂足为 $H (m ， n)$ ，则 $m^{2} + n^{2}$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 2 \sqrt{2}]$ B、 $(0 ， 2 \sqrt{2}]$ C、 $[0 ， 8]$ D、 $(0 ， 8]$

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7. 已知P是直线l：x＋y－7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 相切，切点分别为A，B.则｜AB｜的最小值为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 k x + 2 y + k^{2} = 0 (k < 0)$ 和定点 $P (1 ， - 1)$ ，若过点 $P$ 可以作两条直线与圆 $C$ 相切，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2)$

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9. 若直线 $3 x + 4 y + m = 0$ 与圆 $(x + 1)^{2} + y^{2} = 1$ 相离，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- ∞ ， - 8) \cup (2 ， + ∞)$ B、 $(- ∞ ， - 2) \cup (8 ， + ∞)$ C、 $(- ∞ ， - 2) \cup (2 ， + ∞)$ D、 $(- ∞ ， - 8) \cup (8 ， + ∞)$

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10. 已知点 $P$ 在直线 $l$ ： $3 x + 4 y - 20 = 0$ 上，过点 $P$ 的两条直线与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 分别相切于 $A ， B$ 两点，则圆心 $O$ 到直线 $A B$ 的距离的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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二、多项选择题

11. 已知圆的方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ ，以下各点在圆内的是（）

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(2 ， - 2)$ D、 $(3 ， - 4)$

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12. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆C的半径为16 B、圆C截x轴所得的弦长为4 $\sqrt{3}$ C、圆C与圆E： ${(x - 6)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相外切 D、若圆C上有且仅有两点到直线 $3 x + 4 y + m = 0$ 的距离为1，则实数m的取值范围是 $(19 ， 24) \cup (- 26 ， - 21)$

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13. 若动点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = k$ （ $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ）其中点 $A ， B$ 是不重合的两个定点），则点 $P$ 的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已知点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \sqrt{2}$ ，点 $P$ 的轨迹为圆 $C$ ，则（）

A、圆 $C$ 的方程为 $(x - 6)^{2} + y^{2} = 32$ B、若圆 $C$ 与线段 $A B$ 交于点 $M$ ，则 $\frac{| A M |}{| M B |} = \sqrt{2}$ C、圆 $C$ 上有且仅有两个点到直线 $3 x + 4 y + 2 = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ D、设动点 $P (m ， n)$ ，则 $m^{2} + n^{2} - 6 m - 8 n$ 的最大值为 $40 \sqrt{2} + 32$

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14. 已知圆C： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 14 y + 45 = 0$ 及点 $Q (- 2 ， 3)$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $k x - y - 2 k + 1 = 0$ 与圆C始终有两个交点 B、圆C与 $x$ 轴不相切 C、若点 $P (m ， m + 1)$ 在圆C上，则直线PQ的斜率为 $\frac{1}{4}$ D、若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为 $[2 \sqrt{2} ， 6 \sqrt{2}]$

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15. 已知曲线 $C$ 的方程为 $\sqrt{x^{2} + y^{2}} = | 2 x + y |$ ，圆M： $x^{2} + {(y - b)}^{2} = 2 (b \in R)$ ，则（）

A、曲线 $C$ 表示一条直线 B、点 $(1 ， 2)$ 与曲线 $C$ 上的点的最短距离为1 C、当 $b = \frac{5 \sqrt{2}}{4}$ 时，曲线 $C$ 与圆 $M$ 有3个公共点 D、不论 $b$ 取何值，总存在圆 $N$ ，使得圆 $N$ 与圆 $M$ 相切，且圆 $N$ 与曲线 $C$ 有4个公共点

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16. 已知直线 $l ： x + t y - 4 = 0$ ，圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ （）

A、若直线 $l$ 过圆 $C$ 圆心，则 $t = - 6$ B、直线 $l$ 过定点 $(4 ， 0)$ C、存在实数 $t$ ，使得直线 $l$ 与圆 $C$ 相切 D、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B | \geq 4$

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三、填空题

17. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ ，点 $P$ 在直线 $x + y + 2 = 0$ 上运动，过 $P$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，当四边形 $P A C B$ 的面积最小时， $∠ A C B =$ ．

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18. 当直线l： $x - m y + m - 2 = 0$ 截圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 所得的弦长最短时，实数m的值为.

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19. 直线 $l$ 与圆 $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 相交于 $A ， B$ 两点，且 $A (0 ， 1)$ ．若 $| A B | = \sqrt{2}$ ，则直线 $l$ 的斜率为．

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20. 过点 $P (2 ， - 1)$ 作圆 $E ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 1 = 0$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，则直线 $A B$ 的方程为．

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{1 - {(x - 2)}^{2}} + 2$ 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线 $y = 1$ 的对称点在 $y = - k x + 1$ 的图象上，则实数k的取值范围是．

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22. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} (x - 4)$ 相切，直线 $l$ 经过点 $P (- 1 ， 1)$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两个不同点，且满足关系 $\vec{O M} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{O B}$ （ $O$ 为坐标原点）的点 $M$ 也在圆 $C$ 上，则直线 $l$ 的方程是．

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四、解答题

23. 已知圆 $C ： (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ ，直线 $l ： (m + 1) x + (2 m + 1) y = 5 m + 3$ ．

(1)、判断并证明直线l与圆C的位置关系；

(2)、设直线l与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为 $1 ： 2$ ，求直线l的方程．

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24. 圆 $C$ 经过点 $A (1 ， 2)$ 与直线 $x + y - 5 = 0$ 相切，圆心 $C (a ， b)$ 的横、纵坐标满足 $a = 2 b (a > 0)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l ： m x + 2 y - 3 m - 1 = 0$ 交圆 $C$ 于A，B两点，当 $| A B | = \sqrt{3}$ 时，求直线l的方程．

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25. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 10$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 7 = 0$

(1)、求证：圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交；

(2)、求两圆公共弦所在直线的方程；

(3)、求经过两圆交点，且圆心在直线 $x + y - 6 = 0$ 上的圆的方程．

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26. 圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l ： (2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ .

(1)、求证：直线 $l$ 过定点；

(2)、求 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最短时 $m$ 的值以及最短弦的长度.

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27. 已知圆 $C$ 的圆心为原点，且与直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 相切，直线 $l$ 过点 $M (1 ， 2)$ .

(1)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 被圆 $C$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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28. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $x$ 轴的正半轴交于点 $A$ ，以点 $A$ 为圆心的圆 $A$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与圆 $O$ 交于 $B$ ， $C$ 两点.

(1)、当 $r = \sqrt{2}$ 时，求 $B C$ 的长；

(2)、当 $r$ 变化时，求 $\vec{A B} · \vec{A C}$ 的最小值；

(3)、过点 $P (6 ， 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $A$ 切于点 $D$ ，与圆 $O$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ，若点 $E$ 是 $D F$ 的中点，试求直线 $l$ 的方程.

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29. 已知圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} = 4$ ．

(1)、直线l过点 $P (1 ， 2)$ ，且与圆C交于A、B两点，若 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程；

(2)、点 $P (x ， y)$ 为圆上任意一点，求 $x + y + 2$ 的最大值和最小值．

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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一2.5 直线与圆、圆与圆的位置 同步练习

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一2.5 直线与圆、圆与圆的位置同步练习