2023年浙教版数学九年级上册3.7 正多边形同步测试（培优版）

试卷更新日期：2023-08-06 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（）

A、不能构成三角形 B、这个三角形是等腰三角形 C、这个三角形是直角三角形 D、这个三角形是钝角三角形

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2. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 和正方形 $A G D H$ 都内接于 $⊙ O$ ，连接 $B G$ ，则弦 $B G$ 所对圆周角的度数为（）

A、 $15 °$ B、 $30 °$ C、 $15 °$ 或 $165 °$ D、 $30 °$ 或 $150 °$

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3. 如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ，点F在弧 $A E$ 上.若 $∠ C D F = 96 °$ ，则 $∠ F C D$ 的大小为（）

A、38° B、42° C、48° D、58°

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4. 我国魏晋时期数学家刘微在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 $π$ 的近似值为3.1416．如图， $⊙ O$ 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 $⊙ O$ 的面积，可得 $π$ 的估计值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 $π$ 的估计值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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5. 小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他制了如图2所示的图形，图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为 $\frac{49 \sqrt{3}}{2} {cm}^{2}$ ，则该圆的半径为（）cm．

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ B、 $7 \sqrt{3}$ C、7 D、8

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6. 如图是一个半径为6cm的 $⊙ O$ 的纸片， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，分别以直线 $A B$ 和 $A C$ 折叠 $⊙ O$ 纸片， $\overset{⌢}{A B}$ 和 $\overset{⌢}{A C}$ 都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是（　　）

A、 $9 \sqrt{3} c m^{2}$ B、 $8 \sqrt{3} c m^{2}$ C、 $9 \sqrt{6} c m^{2}$ D、 $12 c m^{2}$

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7. 如图， $⊙ O$ 的内接正六边形 $A B C D E F$ 的边心距为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，分别以 $B$ 、 $D$ 、 $F$ 为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $π - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $π - \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $2 π - \sqrt{3}$ D、 $π + \frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 如图， $⊙ O$ 半径为 $\sqrt{2}$ ，正方形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，点E在 $\overset{⌢}{A D C}$ 上运动，连接 $B E ，$ 作 $A F ⊥ B E$ ，垂足为F，连接 $C F$ .则 $C F$ 长的最小值为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、1 C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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9. 我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是（）

A、1 B、 $8 - 4 \sqrt{3}$ C、 $16 - 8 \sqrt{3}$ D、 $20 - 10 \sqrt{3}$

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10. 已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示．按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B ， M间的距离不可能是（）

A、0.5 B、0.6 C、0.7 D、0.8

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二、填空题（每空4分，共24分）

11. 如图，六边形 $A B C D E F$ 是 $⊙ O$ 的内接正六边形，设正六边形 $A B C D E F$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A C E$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ ．

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12. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 和正五边形 $A H I J K$ 内接于 $⊙ O$ ，且有公共顶点A，则 $∠ B O H$ 的度数为度．

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13. 如图，边长为6的正方形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，点E是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一动点（不与A ， B重合，点F是 $\overset{⌢}{B C}$ 上的一点，连接 $O E ， O F$ ，分别与 $A B ， B C$ 交于点G ， H ，且 $∠ E O F = 90 °$ ，有以下结论：① $O G = O H$ ；② $△ G B H$ 周长的最小值为 $6 + 2 \sqrt{2}$ ；③随着点E位置的变化，四边形 $O G B H$ 的面积始终为9.其中正确的是.（填序号）

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14. 如图，正六边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ 内部有一个正五形 $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} B_{5}$ ，且 $A_{3} A_{4} // B_{3} B_{4}$ ，直线 $l$ 经过 $B_{2}$ 、 $B_{3}$ ，则直线 $l$ 与 $A_{1} A_{2}$ 的夹角 $α =$ $^{°}$ .

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15. 观察下列结论：
⑴如图①，在正三角形 $A B C$ 中，点M，N是 $A B ， B C$ 上的点，且 $A M = B N$ ，则 $A N = C M$ ， $∠ N O C = 60 °$ ；

⑵如图②，在正方形 $A B C D$ 中，点M，N是 $A B ， B C$ 上的点，且 $A M = B N$ ，则 $A N = D M$ ， $∠ N O D = 90 °$ ；

⑶如图③，在正五边形 $A B C D E$ 中，点M，N是 $A B ， B C$ 上的点，且 $A M = B N$ ，则 $A N = E M$ ， $∠ N O E = 108 °$ ；……

根据以上规律，在正n边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} \dots \dots A_{n}$ 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是 $A_{1} A_{2} ， A_{2} A_{3}$ 上的点，且 $A_{1} M = A_{2} N$ ， $A_{1} N$ 与 $A_{n} M$ 相交于O．也会有类似的结论．你的结论是．

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16. 如图，作半径为2的⊙O的内接正四边形ABCD，然后作正四边形ABCD的内切圆，得第二个圆，再作第二个圆的内接正四边形A₁B₁C₁D₁ ，又作正四边形A₁B₁C₁D₁的内切圆，得第三个圆…，如此下去，则第六个圆的半径为．

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三、解答题（共7题，共66分）

17. 如图， $⊙ O$ 为正五边形 $A B C D E$ 的外接圆，已知 $C F = \frac{1}{3} B C$ ，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．

(1)、在图1中的边 $D E$ 上求作点 $G$ ，使 $D G = C F$ ；

(2)、在图2中的边 $D E$ 上求作点 $H$ ，使 $E H = C F$ ．

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18. 如图，六边形ABCDEF是 $⊙ O$ 的内接正六边形.

(1)、求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分 $∠ B A F$ .

(2)、设 $⊙ O$ 的面积为 $S_{1}$ ，六边形ABCDEF的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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19. 如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON

(1)、求图1中∠MON的度数

(2)、图2中∠MON的度数是，图3中∠MON的度数是

(3)、试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是

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20. 如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD，正五边形ABCDE，、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B，C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动

(1)、求图10－1中∠APN的度数；

(2)、图10－2中，∠APN的度数是，图10－3中∠BPN的度数是。

(3)、试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）

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21. 如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．

(1)、求证：四边形PEQB为平行四边形；

(2)、填空：
①当t=s时，四边形PBQE为菱形；
②当t=s时，四边形PBQE为矩形．

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22. 已知某种月饼形状的俯视图如图1所示，该形状由1个正六边形和6个半圆组成，半圆直径与正六边形的边长相等.

现商家设计了2种棱柱体包装盒，其底面分别为矩形和正六边形(如图2和图3)我们可从底面的利用率来记算整个包装盒的利用情况.(底面利用率= $\frac{月饼面积}{包装盒底面面积}$ ×100%)

(1)、请分别计算出图2与图3中的底面利用率(结果保留到0.1%)；

(2)、考虑到节约成本，商家希望底面利用率能够不低于80%，且底面图形仍然采用最基本的几何形状，请问商家的要求是否能够满足，若可以满足，请设计一种方案，并直接写出此时的利用率；若不能满足，请说明理由.

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23. 课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．
实验与论证：

设旋转角∠A₁A₀B₁＝α(α＜∠A₁A₀A₂)，θ₃、θ₄、θ₅、θ₆所表示的角如图所示．

(1)、用含α的式子表示角的度数：θ₃＝， θ₄＝， θ₅＝；

(2)、图1﹣图4中，连接A₀H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A₀H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想：

设正n边形A₀A₁A₂…A_n_﹣1与正n边形A₀B₁B₂…B_n_﹣1重合(其中，A₁与B₁重合)，现将正多边形A₀B₁B₂…B_n_﹣1绕顶点A₀逆时针旋转α(0°＜α＜ $\frac{180}{n}$ °)；

(3)、设θ_n与上述“θ₃、θ₄、…”的意义一样，请直接写出θ_n的度数；

(4)、试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A₀H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明)；若不存在，请说明理由．

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2023年浙教版数学九年级上册3.7 正多边形 同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空4分，共24分）

三、解答题（共7题，共66分）

2023年浙教版数学九年级上册3.7 正多边形同步测试（培优版）