2023年浙教版数学九年级上册3.5 圆周角同步测试（培优版）

试卷更新日期：2023-08-06 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，弦 $B D$ 交 $A C$ 于点E， $A E = D E$ ， $B C = C E$ ，过点O作 $O F ⊥ A C$ 于点F，延长 $F O$ 交 $B E$ 于点G，若 $D E = 3$ ， $E G = 2$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、7 C、8 D、 $4 \sqrt{5}$

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2. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E， $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{B D}$ ， ∠CDB＝30°， $A C = 3 \sqrt{3}$ ，则OE的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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3. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（）

A、4 B、4 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、2

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4. 如图，在给定的锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交边AB，AC于点E，F，连接EF，当点D从点B运动到点C的过程中，线段EF的长度的大小变化情况是（　　）

A、一直不变 B、一直减少 C、先减小后增大 D、先增大后减小

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5. 如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①AD²+AC²＝4；②∠DBC+∠ADO＝90°；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（）

A、①②③ B、②③④ C、③④ D、②④

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6. 如图，AB是半圆O的直径，点C、E是半圆上的动点（不与点A、B重合），且 $\overset{⌢}{A C}$ ＝ $\overset{⌢}{B E}$ ，射线AE，BC交于点F，M为AF中点，G为CM上一点，作∠GON＝ $\overset{⌢}{B C}$ ，交BC于点N，则点C在从点A往点B运动的过程中，四边形CGON的面积（）

A、先变大后变小 B、先变小后变大 C、保持不变 D、一直减小

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7. 如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 B 的坐标为 $(- \sqrt{3} ， 0)$ ，M 是圆上一点，∠BMO=120°.⊙C的圆心C的坐标是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， - \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， - \frac{1}{2})$

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8. 如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E.设∠A＝α，∠C＝β（）

A、若α+β＝70°，则 $\overset{⌢}{D E}$ $\underline{\underline{m}}$ 20° B、若α+β＝70°，则 $\overset{⌢}{D E}$ $\underline{\underline{m}}$ 40° C、若α﹣β＝70°，则 $\overset{⌢}{D E}$ $\underline{\underline{m}}$ 20° D、若α﹣β＝70°，则 $\overset{⌢}{D E}$ $\underline{\underline{m}}$ 40°

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9. 尺规作图是初中数学学习中一个非常重要的内容.小明按以下步骤进行尺规作图：①将半径为 $r$ 的 $⊙ O$ 六等分，依次得到 $A ， B ， C ， D ， E ， F$ 六个分点；②分别以点 $A ， D$ 为圆心， $A C$ 长为半径画弧，两弧交于点 $G$ ；③连结 $O G$ .则 $O G$ 的长是（）

A、 $(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) r$ B、 $(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) r$ C、 $\sqrt{2} r$ D、 $\sqrt{3} r$

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10. 如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，则弦EF长度的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{3}$

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二、填空题（每空4分，共24分）

11. 如图，等腰 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点D是 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点，连接 $B D$ ，点E是 $B D$ 上一点，满足 $∠ A B E = ∠ E C B$ . 若 $C D = 2$ ，则 $△ A E C$ 的面积是.

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12. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E ， F$ 分别在 $B C ， B D$ 上，且 $B E = 1$ ，过三点 $C ， E ， F$ 作 $⊙ O$ 交 $C D$ 于点G.在点F整个运动过程中，当 $E F ， F G ， C G$ 中满足某两条线段相等时， $B F$ 的长为.

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13. 如图，⊙P与x轴交于点A(-5，0)，B(1，0)，与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB=60°，则点C的纵坐标为.

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14. 如图，在直角坐标系中，抛物线 $y = {ax}^{2} - 4 ax + 2 (a > 0)$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，点 $B$ 是点 $A$ 关于对称轴的对称点，点 $C$ 是抛物线的顶点，若 $△ ABC$ 的外接圆经过原点 $O$ ，则点 $C$ 的坐标为.

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15. 如图，点 $A$ 在反比例函数图象 $y = \frac{6 \sqrt{2}}{x} (x > 0)$ 上，以 $O A$ 为直径的圆交该双曲线于点 $C$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，若 $\overset{⌢}{C B} = \overset{⌢}{C O}$ ，则该圆的直径长是.

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16. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 8$ ，点 $M$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ M A B = 20 °$ ， $N$ 是 $\overset{⌢}{M B}$ 的中点， $P$ 是直径 $A B$ 上的一动点，若 $M N = 1$ ，则 $Δ P M N$ 周长的最小值为.

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三、作图题（共8分）

17. 如图，A、B是⊙O上的两个点，已知P为平面内一点，（P、A、B三点不在同一条直线上）.

(1)、若点P在⊙O上，⊙O的半径为1.
①当∠APB＝45°时，AB的长度为；

②当AB＝1时，∠APB＝ °；

(2)、若点P不在⊙O上，直线PA、PB交⊙O于点C、D（点C与点A、点D与点B均不重合），连接AD，设∠CAD＝ $α$ ，∠ADB＝ $β$ ，试用 $α$ 、 $β$ 表示∠APB（请直接写出答案，并画出示意图）.

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四、解答题（共7题，共58分）

18. 点A是矩形 $E F B G$ 边 $E G$ 上的点，以 $A B$ 为直径的圆交 $E F$ 于点D和点C， $A E = E D$ ，连接 $B D ， B C ， A C$ ．

(1)、求证： $A C = B C$ ．

(2)、已知 $A E = 1 ， B D = 3 \sqrt{2}$ ，求CD的长．

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19. 已知， $A B$ 是 $⊙ O$ 直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $H$ ，点 $P$ 是 $⊙ O$ 上一点．

(1)、如图1，连接 $P B$ 、 $P C$ 、 $P D$ ，求证： $B P$ 平分 $∠ C P D$ ；

(2)、如图2，连接 $P A$ 、 $P C$ 、 $P D$ ， $P C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ，若 $A E = A P$ ；求证： $C E = D P$ ；

(3)、如图 $3$ ，在（2）的条件下，连接 $B P$ 交 $A D$ 于 $G$ ，连接 $O G$ ，若 $∠ O G A = 45 °$ ， $S_{△ A O G} = 30$ ，求 $⊙ O$ 半径．

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20. 数学活动课上，老师给出这样一个题目：如图1，点C是弧 $A B$ 上的点， $C D ⊥ O A$ 于D， $C E ⊥ O B$ 于E，若 $C D = C E$ ，求证：点C是弧 $A B$ 的中点.
小波同学想到的办法是：可通过证明 $△ C D O ≌ △ C E O$ 来完成它.

(1)、请你们帮助小波完成证明过程：

(2)、解答完老师给出的问题后，小波把老师的题进行了改变.
如图2，已知 $C H$ 是 $⊙ O$ 的直径，点D，点E分别是半径 $O A$ ， $O B$ 的中点，延长 $C E$ 交 $B H$ 于点F，若 $C D ⊥ O A$ 于D，且点C是弧 $A B$ 的中点，求证： $F C = F H$ ，请你证明.

(3)、拓展：如图3，在（2）的条件下，点G是弧 $B H$ 上一点，连接 $A G ， B G ， H G$ ， $O F$ ，若 $H G = 4$ ， $A G ： B G = 5 ： 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径长.

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21. 如图1， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，且 $A B = 4$ ，过点 $B$ 作 $A B$ 的垂线，C是垂线上一点，连接 $A C$ 交 $⊙ O$ 于点D，连接 $B D$ ，点E是 $\overset{⌢}{A D}$ 的中点，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点F.

(1)、求证： $C B = C F$ ；

(2)、若 $A F = 2$ ，求 $C B$ 的值；

(3)、若图1的基础上，作 $∠ D A B$ 的平分线交 $B E$ 于点I，交 $⊙ O$ 于点G，连接 $O I$ （如图2），直接写出 $O I$ 的最小值.

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22. 如图， $C$ 是 $\overset{⌢}{A C B}$ 的中点， $∠ A O C = 4 ∠ B ， O C = 4$ .

(1)、求 $∠ A$ 的度数；

(2)、求线段 $A B$ 的长度.

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23. 已知： $⊙ O$ 的两条弦 $A B$ ， $C D$ 相交于点M，且 $A B = C D$ .

(1)、如图1，连接 $A D$ .求证： $A M = D M$ .

(2)、如图2，若 $A B ⊥ C D$ ，点E为弧 $B D$ 上一点， $\overset{⌢}{B E} = \overset{⌢}{B C} = α °$ ， $A E$ 交 $C D$ 于点F，连接 $A D$ 、 $D E$ .
①求 $∠ E$ 的度数(用含 $α$ 的代数式表示).
②若 $D E = 7$ ， $A M + M F = 17$ ，求 $△ A D F$ 的面积.

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24. 如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG＝AG，连接AC．

(1)、求证：AC∥DF；

(2)、若AB＝12，求AC和GD的长．

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2023年浙教版数学九年级上册3.5 圆周角 同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空4分，共24分）

三、作图题（共8分）

四、解答题（共7题，共58分）

2023年浙教版数学九年级上册3.5 圆周角同步测试（培优版）