2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.4 空间向量的应用

试卷更新日期：2023-08-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知直线 $m$ ， $n$ 的方向向量分别为 $\vec{a} = (1 ， - 2 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 3 ， 0)$ ，则直线 $m$ ， $n$ 夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{10}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{6}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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2. 已知 $A (2 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 2 ， 0)$ ， $C (0 ， 0 ， 2)$ ，则平面ABC的一个法向量可以是（）

A、 $(- 1 ， - 1 ， - 1)$ B、 $(1 ， - 1 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 1 ， 1)$ D、 $(1 ， 1 ， - 1)$

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3. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑” $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C ⊥ C D$ ，且 $A B = B C = C D$ ， $M$ 为 $A D$ 的中点，则异面直线 $B M$ 与 $C D$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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4. 若直线l的方向向量与平面 $α$ 的法向量的夹角等于 $\frac{2 π}{3}$ ，则直线l与平面 $α$ 所成的角等于（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{4}$

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5. 如图， $A B C D$ 为直角梯形， $A B ∥ C D ， A D ⊥ D C ， A D = 3 ， C D = \sqrt{3} ， A B = 2 \sqrt{3}$ .连 $A C$ ，将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 翻折成三棱锥 $D - A B C$ ，当三棱锥 $D - A B C$ 外接球表面积的最小值时，二面角 $D - A C - B$ 的余弦值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E ， F$ （ $E$ 在 $F$ 的左边），且 $E F = \sqrt{2}$ ．下列说法不正确的是（）

A、当 $E$ 运动时，二面角 $E - A B - C$ 的最小值为 $4 5^{∘}$ B、当 $E ， F$ 运动时，三棱锥体积 $B - A E F$ 不变 C、当 $E ， F$ 运动时，存在点 $E ， F$ 使得 $A E / / B F$ D、当 $E ， F$ 运动时，二面角 $C - E F - B$ 为定值

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7. 若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a}$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n}$ ，则能使 $l$ ∥ $α$ 的是（　　）

A、 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 0) ， \vec{n} = (- 2 ， 0 ， 0)$ B、 $\vec{a} = (1 ， 3 ， 5) ， \vec{n} = (1 ， 0 ， 1)$ C、 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 3) ， \vec{n} = (0 ， 3 ， 1)$ D、 $\vec{a} = (0 ， 2 ， 1) ， \vec{n} = (- 1 ， 0 ， - 1)$

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8. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为 $1$ 的正方形， $A P = 2$ ，则直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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9. 如图，直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，垂足为 $O$ ，正四面体 $A B C D$ （所有棱长都相等的三棱锥）的棱长为2， $C$ 在平面 $α$ 内， $B$ 是直线 $l$ 上的动点，当 $O$ 到 $A D$ 的距离最大时，该正四面体在平面 $α$ 上的射影面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

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10. 已知 $\vec{m} = (- 2 ， a + b ， a - b) (a ， b \in R)$ 是直线l的方向向量， $\vec{n} = (2 ， - 1 ， 2)$ 是平面 $α$ 的法向量．若 $l ⊥ α$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a - 3 b - 4 = 0$ B、 $a - 3 b - 5 = 0$ C、 $a = - \frac{1}{2} ， b = \frac{3}{2}$ D、 $a = \frac{1}{2} ， b = - \frac{3}{2}$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $P$ 在线段 $B_{1} C$ 上，有下列四个结论：
① $A B_{1} ⊥ C D_{1}$ ；
②点 $P$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；
③二面角 $A - B_{1} C - D_{1}$ 的余弦值为 $\frac{2}{3}$ ；
④若四面体 $B_{1} A C D_{1}$ 的所有顶点均在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的体积为 $2 \sqrt{3} π$ .
其中所有正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 6$ ， $A D = 8$ ， $E$ 为棱 $A D$ 上一点，且 $A E = 6$ ，平面 $A_{1} B E$ 上一动点 $Q$ 满足 $\vec{A Q} \cdot \vec{E Q} = 0$ ，设 $P$ 是该长方体外接球上一点，则 $P$ ， $Q$ 两点间距离的最大值是（）

A、 $\sqrt{34} + 2 \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{34} + \sqrt{22}$ C、 $\sqrt{34} + \sqrt{11}$ D、 $\sqrt{34} + \sqrt{6}$

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二、多项选择题

13. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $E$ 、 $F$ 分别为棱 $B_{1} C_{1}$ 、 $B_{1} B$ 的中点，则下列结论正确的为（）

A、 $\vec{A D_{1}} = 2 \vec{E F}$ B、 $\vec{B_{1} D_{1}} \cdot \vec{A C} = 0$ C、 $| \vec{D F} | = 3$ D、 $\vec{D F}$ 为平面 $A C D_{1}$ 的一个法向量

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14. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A E} = \frac{1}{4} \vec{A A_{1}}$ ， $\vec{C F} = \frac{3}{4} \vec{C C_{1}}$ ，则（）

A、 $∠ E B F$ 为钝角 B、 $A D_{1} ⊥ A_{1} C$ C、 $E D / /$ 平面 $B_{1} D_{1} F$ D、直线 $E F$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$

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15. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ， $M$ 为棱 $A B$ 的中点，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B B_{1}} + μ \vec{B C}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ，则（）

A、当 $λ = μ$ 时， $B P / /$ 平面 $A D_{1} C$ B、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时， $M P ⊥ D_{1} P$ C、当 $λ + μ = \frac{1}{3}$ 时，三棱锥 $A M P D_{1}$ 的体积是定值 D、当点 $P$ 落在以 $A$ 为球心， $\sqrt{2}$ 为半径的球面上时， $λ + μ$ 的取值范围是 $[1 ， \sqrt{2}]$

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16. 已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为 $1 ， M ， N ， E$ 分别为正四面体棱 $B C ， A C ， P A$ 的中点， $F$ 为面 $A B C$ 内任意一点，则下列结论正确的是（）

A、平面 $E B C$ 截正四面体 $P - A B C$ 的外接球所得截面的面积为 $\frac{3 π}{8}$ B、若存在 $λ ， μ$ ，使得 $\vec{P F} = λ \vec{P M} + μ \vec{P N}$ ，则线段 $C F$ 长度的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、过点 $P$ 作平面 $α / /$ 平面 $E B C$ ，若平面 $α ∩$ 平面 $A B C = l_{1}$ ，平面 $α ∩$ 平面 $P A C = l_{2}$ ，则 $l_{1} ， l_{2}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、平面 $E M N$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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三、填空题

17. 如图，在棱长为1的正方体 $B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则点C到平面 $A E C_{1}$ 的距离等于.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (1 - m ， 1 ， m)$ 是直线 $l$ 的一个方向向量，向量 $\vec{n} = (- 2 ， m ， 1)$ 是平面 $α$ 的一个法向量，若直线 $l$ ⊥平面 $α$ ，则实数 $m$ 的值为.

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19. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形，若 $c o s ⟨ \vec{A B} ， \vec{A C_{1}} ⟩ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则该长方体的外接球的表面积为；记 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 分别是 $\vec{A B} ， \vec{A D}$ 方向上的单位向量，且 $| \vec{a} | = 2 \sqrt{6}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{e_{1}} = \vec{a} \cdot \vec{e_{2}} = 2 \sqrt{2}$ ，则 $| \vec{a} - m \vec{e_{1}} - n \vec{e_{2}} |$ （m，n为常数）的最小值为．

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20. 在空间直角坐标系中，已知点 $A (1 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 2 ， 0)$ ， $C (0 ， 0 ， 3)$ ，则点 $P (2 ， 2 ， 2)$ 到平面 $A B C$ 的距离为.

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21. 若空间中有三点 $A (1 ， 0 ， - 1) ， B (0 ， 1 ， 1) ， C (1 ， 2 ， 0)$ ，则 $A$ 到直线 $B C$ 的距离为；点 $P (1 ， 2 ， 3)$ 到平面 $A B C$ 的距离为.

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22. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，若空间中的动点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D} + ν \vec{A A_{1}}$ ， $λ ， μ ， ν \in [0 ， 1]$ ，则下列命题正确的是．（请用正确命题的序号作答）
①若 $λ = μ = ν = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 到平面 $A B_{1} C$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ；
②若 $λ = μ = ν = \frac{1}{2}$ ，则二面角 $P - A B - C$ 的平面角为 $\frac{π}{4}$ ；
③若 $λ + μ + ν = \frac{1}{2}$ ，则三棱锥 $P - B D A_{1}$ 的体积为 $2$ ；
④若 $λ + μ - ν = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹构成的平面图形的面积为 $3 \sqrt{3}$ ．

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四、解答题

23. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B D$ ， $∠ A S D = ∠ B A D = ∠ B C D = \frac{π}{2}$ ， $S A = S D = \sqrt{2}$ ， $A B = \sqrt{2} B C = \sqrt{2} C E = \sqrt{2} S F = 1$ ．

(1)、求证： $E F$ $/ /$ 平面 $S A B$ ；

(2)、求点 $E$ 到平面 $S A B$ 的距离；

(3)、求平面 $S A B$ 与平面 $S B C$ 的夹角．

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24. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 4$ ，点 $E$ 是边 $A D$ 上的动点，沿 $B E$ 将 $△ A B E$ 翻折至 $△ A' B E$ ，使二面角 $A' - B E - C$ 为直二面角．

(1)、当 $A E = 3$ 时，求证： $A' B ⊥ C E$ ；

(2)、当线段 $A' C$ 的长度最小时，求二面角 $C - A' B - E$ 的正弦值．

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25. 如图，正方形 $A B C D$ 是圆柱 $O O_{1}$ 的轴截面， $E F$ 是圆柱的母线，圆柱 $O O_{1}$ 的体积为 $16 π$ ．

(1)、求圆柱 $O O_{1}$ 的表面积；

(2)、若 $∠ A B F = 30 °$ ，求点 $F$ 到平面 $B D E$ 的距离．

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26. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均为 $2$ ， $∠ A_{1} A C = 6 0^{∘}$ ， $A_{1} B = \sqrt{6}$ ．

(1)、证明：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(2)、求平面 $B A_{1} B_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的夹角的正弦值．

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27. 如图所示多面体ABCDEF中，平面 $A D E ⊥$ 平面ABCD， $C F ⊥$ 平面ABCD， $△ A D E$ 是正三角形，四边形ABCD是菱形， $A B = 2$ ， $C F = \sqrt{3}$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3} .$

(1)、求证： $E F$ $∥$ 平面ABCD；

(2)、求二面角 $E - A F - C$ 的正弦值.

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28. 如图四棱锥 $P - A B C D$ ，点 $A ， B ， C ， D$ 在圆 $O$ 上， $A B = A D = 2 ， ∠ B A D = 12 0^{∘}$ ，顶点 $P$ 在底面的射影为圆心 $O$ ，点 $E$ 在线段 $P D$ 上.

(1)、若 $A B / / C D ， P E = λ P D$ ，当 $A E$ //平面 $P B C$ 时，求 $λ$ 的值；

(2)、若 $A B$ 与 $C D$ 不平行，四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\sqrt{6} ， P O = \sqrt{2}$ ，求直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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