2023年浙教版数学七年级上册3.4 实数的运算同步测试（培优版）

试卷更新日期：2023-08-06 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 与 $\sqrt{2} \times (\sqrt{40} - \sqrt{2})$ 最接近的整数是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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2. 如果 $x$ 、 $y$ 分别是 $4 - \sqrt[]{3}$ 的整数部分和小数部分，则 $x - y =$ （）

A、 $\sqrt[]{3}$ B、 $- \sqrt[]{3}$ C、 $1 + \sqrt[]{3}$ D、 $2 - \sqrt[]{3}$

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3. 若x为实数，在“ $(\sqrt{3} + 1) ◯ x$ ”的“ $◯$ ”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $1 - \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $1 + \sqrt{3}$

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4. 设a，b，c为互不相等的实数，且 $\frac{2}{3} a + \frac{1}{3} c = b$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a - b = 2 (b - c)$ D、 $a - c = 3 (a - b)$

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5. 设P₁、P₂、P₃、P₄是不等于零的有理数，q₁、q₂、q₃、q₄是无理数，则下列四个数① $p_{1}^{2} + q_{1}^{2}$ ，②（P₂+q₂）² ， ③（P₃+q₃）q³ ， ④P₄（P₄+q₄）中必为无理数的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6. 下列算式中能说明命题“两个无理数的和还是无理数”是假命题的是（）

A、 $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ B、 $（ 1 - \sqrt{2} ） + \sqrt{2} = 1$ C、 $π + 2 π = 3 π$ D、 $\sqrt{4} + \sqrt{4} = 4$

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7. 在实数范围内定义运算“♀”，该运算同时满足下列条件：（1）x♀x=5，（x≠5）；（2）x♀（y♀z）=（x♀y）+z，则2015♀2017的值是（）

A、2 B、3 C、2015 D、2017

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8. 若6－ $\sqrt{13}$ 的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋ $\sqrt{13}$ )y的值是（）

A、5－3 $\sqrt{13}$ B、3 C、3 $\sqrt{13}$ －5 D、－3

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9. 我们规定：a*b= $\frac{a + b}{2}$ ，则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（   ）
①a+（b*c）=（a+b）*（a+c）     ②a*（b+c）=（a+b）*c
③a*（b+c）=（a*b）+（a*c）     ④（a*b）+c= $\frac{a}{2}$ +（b*2c）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②④

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10. 观察下列各数：1， $\frac{4}{3}$ ， $\frac{9}{7}$ ， $\frac{16}{15}$ ， …，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（　　）

A、 $\frac{25}{31}$ B、 $\frac{36}{35}$ C、 $\frac{36}{63}$ D、 $\frac{62}{63}$

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二、填空题（每空4分，共20分）

11. 计算： $| 3 - π | + | π - 4 | =$ .

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12. 若 $\sqrt{7}$ 的整数部分为a，小数部分为b，则b= ，数轴上表示实数a，b的两点之间距离为。

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13. 已知m，n是有理数，且m，n满足等式 $2 m + n + \sqrt{2} (n - 2) = \sqrt{2} (\sqrt{2} + 3) + 21$ ，则 $\sqrt{m} + n$ 的立方根为．

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14. 观察：∵ $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{5} < 3$ ，∴ $\sqrt{5}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\sqrt{5} - 2$ ．思考，若 $\sqrt{7}$ 的整数部分为a，小数部分为b， $| c | = \sqrt{7}$ ，则 $c (a - b) - 4 (c - 2)$ 的值是.

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三、解答题（共6题，共70分）

15. 某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16 $\sqrt{d f}$ ，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数.在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了.

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16. 已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示0， $\frac{b}{a}$ ，b的形式，试求a^2n-1a²ⁿ（n≥1）的值.

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17. 先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足 $a + \sqrt{2} b = 3 - 2 \sqrt{2}$ ，求b^a的值．
解：由题意得 $(a - 3) + (b + 2) \sqrt{2} = 0$ ，
因为a、b都是有理数，所以a-3，b+2也是有理数，
由于 $\sqrt{2}$ 是无理数，所以a-3=0，b+2=0，
所以a=3，b=-2，所以 $b^{a} = (- 2)^{3} = - 8$ ．
问题：设x、y都是有理数，且满足 $x^{2} - 2 y + \sqrt{5} y = 10 + 3 \sqrt{5}$ ，求x+y的值．

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18. 大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于1 $＜ \sqrt{2} ＜$ 2，所以 $\sqrt{2}$ 的整数部分为1，将 $\sqrt{2}$ 减去其整数部分1，差就是小数部分为（ $\sqrt{2} -$ 1）．
解答下列问题：

(1)、 $\sqrt{10}$ 的整数部分是，小数部分是；

(2)、如果 $\sqrt{6}$ 的小数部分为a； $\sqrt{13}$ 的整数部分为b，求a+b $- \sqrt{6}$ 的值；

(3)、已知15 $+ \sqrt{3} =$ x+y，出其中x是整数，且0＜y＜1，求x-y的相反数．

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19. 先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：若 $a + b \sqrt{m} = 0$ ，其中a，b为有理数， $\sqrt{m}$ 是无理数，则 $a = 0 ， b = 0$ .

证明：∵ $a + b \sqrt{m} = 0$ ， a为有理数

∴ $b \sqrt{m}$ 是有理数

∵b为有理数， $\sqrt{m}$ 是无理数

∴ $b = 0$

∴ $a + 0 \sqrt{m} = 0$

∴ $a = 0$

(1)、若 $a + b \sqrt{3} = 3 + \sqrt{3}$ ，其中a、b为有理数，请猜想a= ， b= ，并根据以上材料证明你的猜想；

(2)、已知 $\sqrt{11}$ 的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足 $11 y + \sqrt{11} (y - \sqrt{11} x) = (b + 2) \sqrt{11} + a \sqrt{11}$ ，求x，y的值.

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20. 阅读材料：求1+2+2²+2³+……+2¹⁰⁰的值.
解：设S=1+2+2²+2³+……+2¹⁰⁰
将等式两边同时乘以2得
2S=2+2²+2³+2⁴……+2¹⁰¹
因此2S-S=（2+2²+2³+2⁴……+2¹⁰¹） - （1+2+2²+2³+……+2¹⁰⁰） =2¹⁰¹-1
所以S=2¹⁰¹-1
即1+2+2²+2³+……+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-1
请你仿照此法计算：

(1)、1+2+2²+2³+2⁴+2⁵=

(2)、求1+3+3²+……+3¹⁰¹的值.

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2023年浙教版数学七年级上册3.4 实数的运算 同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空4分，共20分）

三、解答题（共6题，共70分）

2023年浙教版数学七年级上册3.4 实数的运算同步测试（培优版）