2023年浙教版数学七年级上册3.2 实数同步测试（培优版）

试卷更新日期：2023-08-06 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列四个式子：
① $\sqrt{8} < \sqrt{10}$ ；② $\sqrt{65}$ ＜8；③ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ＜1；④ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ＞0.5．

其中大小关系正确的式子的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 实数a ， b ， c在数轴上的对应点的位置如图所示．下列式子正确的是（）

A、 $| a | > | b |$ B、 $a - b < 0$ C、 $a c > b c$ D、 $a < - b$

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3. 若m＝5n（m、n是正整数），且 $10 < \sqrt{m} < 12$ ，则与实数 $\sqrt{n}$ 的最大值最接近的数是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 根据表中的信息判断，下列语句正确的是（）
n
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
$\sqrt{n}$
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6

A、 $\sqrt{25.921} = 1.61$ B、 $\sqrt{263} < 16.2$ C、只有3个正整数n满足 $16.2 < \sqrt{n} < 16.3$ D、 $\sqrt{2755.6} = 166$

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5. 如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，以下结论：①a﹣b＞0；②a+b＜0；③（b﹣1）（a+1）＞0；④ $\frac{b - 1}{| a - 1 |} > 0$ ．其中结论正确的是（）

A、①② B、③④ C、①③ D、①②④

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6. 设681×2019﹣681×2018=a ， 2015×2016﹣2013×2018=b ， $\sqrt{678^{2} + 1358 + 690 + 678} = c$ ，则a ， b ， c的大小关系是（）

A、b＜c＜a B、a＜c＜b C、b＜a＜c D、c＜b＜a

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7. 数轴上A，B，C三点所代表的数分别是a、b、2，且 $| a - 2 | - | 2 - b | = | a - b |$ .下列四个选项中，有（）个能表示A，B，C三点在数轴上的位置关系.
① ② ③ ④

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

A、a>–4 B、bd>0 C、|a|>|d| D、b+c>0

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9. 已知 $\min {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ 表示取三个数中最小的那个数﹒例如：当 $x = 9$ ， $\min {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $\min {\sqrt{9}$ ， $9^{2}$ ， $9}$ =3﹒当 $\min {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $\frac{1}{16}$ 时，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[ $\sqrt{3}$ ]=1，[﹣2.5]=﹣3.现对82进行如下操作：82 $\overset{第 1 次}{\to}$ [ $[\frac{82}{\sqrt{82}}]$ ]=9 $\overset{第 2 次}{\to}$ [ $\frac{9}{3}$ ]=3 $\overset{第 3 次}{\to}$ [ $\frac{3}{\sqrt{3}}$ ]=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每空4分，共20分）

11. 如图，把半径为1的圆从数轴上表示-1的点A开始沿数轴向右滚动一周，圆上的点A到达点 $A^{'}$ ，则点 $A^{'}$ 表示的数为．

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12. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是；点B表示的数是．

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13. 若 $a = \sqrt{1003} + \sqrt{997}$ ， $b = \sqrt{1001} + \sqrt{999}$ ， $c = 2 \sqrt{1001}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系用“＜”号排列为．

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14. 已知 $4 3^{2} = 1849$ ， $4 4^{2} = 1936$ ， $4 5^{2} = 2025$ ， $4 6^{2} = 2116$ ．若n为整数且 $n < \sqrt{2023} < n + 1$ ，则n的值为．

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15. 阅读下列材料：因为 $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{5} < 3$ ，所以 $\sqrt{5}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\sqrt{5} - 2$ ，若规定实数m的整数部分记为 $[m]$ ，小数部分记为 ${m}$ ，可得： $[\sqrt{5}] = 2$ ， ${\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 2$ ．按照此规定计算 ${5 - \sqrt{5}}$ 的值．

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三、解答题（共8题，共70分）

16. 课堂上老师讲解了比较 $\sqrt{11} - \sqrt{10}$ 和 $\sqrt{15} - \sqrt{14}$ 的方法，观察发现11-10＝15-14＝1，于是比较这两个数的倒数：
$\frac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{10}}{(\sqrt{11} - \sqrt{10}) (\sqrt{11} + \sqrt{10)}} = \sqrt{11} + \sqrt{10}$

$\frac{1}{\sqrt{15} - \sqrt{14}} = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{14}}{(\sqrt{15} - \sqrt{14}) (\sqrt{15} + \sqrt{14)}} = \sqrt{15} + \sqrt{14}$

因为 $\sqrt{15} + \sqrt{14} > \sqrt{11} + \sqrt{10}$ ，所以 $\frac{1}{\sqrt{15} - \sqrt{14}} > \frac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{10}}$ ，则有 $\sqrt{15} - \sqrt{14} < \sqrt{11} - \sqrt{10}$ ，

请你设计一种方法比较 $\sqrt{8} + \sqrt{3}$ 与 $\sqrt{6} + \sqrt{5}$ 的大小，

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17. 下面是小李同学探索 $\sqrt{107}$ 的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是 $\sqrt{107}$ ，且 $10 ＜ \sqrt{107} ＜ 11$ ，
∴设 $\sqrt{107} = 10 + x$ ，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S_正方形＝10²+2×10•x+x² ， S_正方形＝107
∴10²+2×10•x+x²＝107
当x²较小时，省略x² ，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即 $\sqrt{107} \approx 10.35$ ．

(1)、 $\sqrt{76}$ 的整数部分是；

(2)、仿照上述方法，探究 $\sqrt{76}$ 的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）

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18. 阅读下面求 $\sqrt{m} (m > 0)$ 近似值的方法，回答问题：
①任取正数 $a_{1} < \sqrt{m}$ ；

②令 $a_{2} = \frac{1}{2} (a_{1} + \frac{m}{a_{1}})$ 则 $\frac{m}{a_{2}} < \sqrt{m} < a_{2}$ ；

③ $a_{3} = \frac{1}{2} (a_{2} + \frac{m}{a_{2}})$ ，则 $a_{2} + \frac{m}{a_{2}} < \sqrt{m} < a_{3}$ ；

……以此类推 $n$ 次，得到 $\frac{m}{a_{n}} < \sqrt{m} < a_{n}$

其中 $a_{n}$ 称为 $\sqrt{m}$ 的 $n$ 阶过剩近似值， $\frac{m}{a_{n}}$ 称为 $m$ 的 $n$ 阶不足近似值.仿照上述方法，求6的近似值.

①取正数 $a_{1} = 2 < \sqrt{6}$ .

②于是 a₂= ；则 $<$ $\sqrt{6} < a_{2}$

③ $\sqrt{6}$ 的3阶过剩近似值 $a_{3}$ 是， 3阶不足近似值是

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19. 阅读下面材料：随着人们认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认 $\sqrt{2}$ 不是有理数，并给出了证明．假设是 $\sqrt{2}$ 有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得 $\sqrt{2}$ = $\frac{p}{q}$ ，于是p= $\sqrt{2}$ q，两边平方得p²=2q² ．因为2q²是偶数，所以p²是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．因此可设p=2s，代入上式，得4s²=2q² ，即q²=2s² ，所以q也是偶数，这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾，这个矛盾说明， $\sqrt{2}$ 不能写成分数的形式，即 $\sqrt{2}$ 不是有理数．
请你有类似的方法，证明 $\sqrt[3]{2}$ 不是有理数．

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20. 操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）

(1)、折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与表示的点重合；

(2)、折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数表示的点重合；
② $\sqrt{3}$ 表示的点与数表示的点重合；
③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是、点B表示的数是

(3)、已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值.

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21. 对于任何实数 $a$ ，可用 $[a]$ 表示不超过 $a$ 的最大整数，如 $[4.1] = 4$ .

(1)、则 $[11.8] =$ ； $[- 11.9] =$ ；

(2)、现对119进行如下操作： $119 \overset{第一次}{\to} [\sqrt{119}] = 10 \overset{第二次}{\to} [\sqrt{10}] = 3 \overset{第三次}{\to} [\sqrt{3}] = 1$ ，这样对119只需进行3次操作后变为1.
$①$ 对15进行1次操作后变为 ▲ ，对200进行3次操作后变为 ▲ ；

$②$ 对实数 $m$ 恰进行2次操作后变成1，则 $m$ 最小可以取到 ▲ ；

$③$ 若正整数 $m$ 进，3次操作后变为1，求 $m$ 的最大值.

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22. 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：

(1)、操作一：折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与表示的点重合；

(2)、操作二：折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
① $\sqrt{3}$ 表示的点与数表示的点重合；

②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是；

(3)、操作三：在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是.

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23. 如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是2 $\sqrt{2}$ 个单位长度，长方形ABCD的长AD是4 $\sqrt{2}$ 个单位长度，长方形EFGH的长EH是8 $\sqrt{2}$ 个单位长度，点E在数轴上表示的数是5 $\sqrt{2}$ ，且E、D两点之间的距离为12 $\sqrt{2}$ 。

(1)、点H在数轴上表示的数是点，点A在数轴上表示的数是。

(2)、若线段AD的中点为M，线段EH上有一点N，EN= $\frac{1}{4}$ EH，M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为x秒，问当x为多少时，原点O恰为线段MN的三等分点？

(3)、若线段AD的中点为M，线段EH上有一点N，EN= $\frac{1}{4}$ EH，长方形ABCD以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形EFGH保持不动，设运动时间为t秒，是否存在一个t的值，使以M、N、F三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求t的值；不存在，请说明理由。

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n	256	259.21	262.44	265.69	268.96	272.25	275.56
$\sqrt{n}$	16	16.1	16.2	16.3	16.4	16.5	16.6

2023年浙教版数学七年级上册3.2 实数 同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空4分，共20分）

三、解答题（共8题，共70分）

2023年浙教版数学七年级上册3.2 实数同步测试（培优版）