广东省历年（2019-2023年）中考数学真题分类汇编12 相似

试卷更新日期：2023-08-06 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（）

A、黄金分割数 B、平均数 C、众数 D、中位数

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2. 在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，点E是 $B C$ 边的中点，连接 $D E$ ，延长 $E C$ 至点F ，使得 $E F = D E$ ，过点F作 $F G ⊥ D E$ ，分别交 $C D$ 、 $A B$ 于N、G两点，连接 $C M$ 、 $E G$ 、 $E N$ ，下列正确的是（）

① $\tan ∠ G F B = \frac{1}{2}$ ； ② $M N = N C$ ； ③ $\frac{C M}{E G} = \frac{1}{2}$ ； ④ $S_{四边形 G B E M} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ．

A、4 B、3 C、2 D、1

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3. 已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE=AF，∠BAD=120°，则下列结论：

①△BCE≌△ACF②△CEF为正三角形③∠AGE=∠BEC④若AF=1，则EG=3FG正确的有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（）

A、EH=HG B、四边形EFGH是平行四边形 C、AC⊥BD D、 $Δ A B O$ 的面积是 $Δ E F O$ 的面积的2倍

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5. 在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象上，点C在函数 $y = - \frac{4}{x} (x < 0)$ 的图象上，若点B的横坐标为 $- \frac{7}{2}$ ，则点A的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 2)$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \sqrt{2})$ C、 $(2 ， \frac{1}{2})$ D、 $(\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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6. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，过点 $O$ 作 $O E ⊥ A C$ ，交 $A D$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ B D$ ，垂足为 $F$ ，则 $O E + E F$ 的值为（）

A、 $\frac{48}{5}$ B、 $\frac{32}{5}$ C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

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7. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，延长 $C B$ 至 $E$ 使 $E B = 2$ ，以 $E B$ 为边在上方作正方形 $E F G B$ ，延长 $F G$ 交 $D C$ 于 $M$ ，连接 $A M$ 、 $A F$ ， $H$ 为 $A D$ 的中点，连接 $F H$ 分别与 $A B$ 、 $A M$ 交于点 $N$ 、 $K$ .则下列结论：① $Δ A N H ≅ Δ G N F$ ；② $∠ A F N = ∠ H F G$ ；③ $F N = 2 N K$ ；④ $S_{Δ A F N} ： S_{Δ A D M} = 1 ： 4$ .其中符合题意的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

8. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为．

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9. 如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°， $\tan ∠ A C B = \frac{1}{2} ， \frac{B O}{O D} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ C B D}}$ = ．

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $Δ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转到 $Δ A B^{'} C^{'}$ ， $A B^{'}$ ， $A C^{'}$ 分别交对角线 $B D$ 于点 $E ， F$ ，若 $A E = 4$ ，则 $E F \cdot E D$ 的值为．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $t a n B = \frac{3}{4}$ ，点D为 $B C$ 上一动点，连接 $A D$ ，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 翻折得到 $△ A D E$ ， $D E$ 交 $A C$ 于点G， $G E < D G$ ，且 $A G ： C G = 3 ： 1$ ，则 $\frac{S_{三角形 A G E}}{S_{三角形 A D G}} =$ ．

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12. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且 $B E = 3$ ，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G ， DF与AE交于点H ．并与 $⊙ A$ 交于点K ，连结HG、CH ．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2） $△ H G D ≌ △ H E C$ ；（3） $S_{△ A H G} ： S_{△ D H C} = 9 ∶ 16$ ；（4） $D K = \frac{7}{5}$ ，其中正确的结论有（填写所有符合题意结论的序号）．

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三、解答题

13. 如图，边长为1的正方形 $A B C D$ 中，点E为 $A D$ 的中点．连接 $B E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠得到 $△ F B E ， B F$ 交 $A C$ 于点G ，求 $C G$ 的长．

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四、综合题

14. 如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上， $O A = 3$ ， $A B = 2$ ，以O为圆心， $O A$ 为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：

①过点A作切线 $A C$ ，且 $A C = 4$ （点C在A的上方）；

②连接 $O C$ ，交 $⊙ O$ 于点D；

③连接 $B D$ ，与 $A C$ 交于点E．

(1)、求证： $B D$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求 $A E$ 的长度．

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15. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的弦，D ， C为 $\overset{⌢}{A C B}$ 的三等分点， $A C // B E$ ．

(1)、求证： $∠ A = ∠ E$ ；

(2)、若 $B C = 3$ ， $B E = 5$ ，求 $C E$ 的长．

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16. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：

(1)、将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：

(2)、把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；

(3)、把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且 $\frac{A E}{A G} = \frac{A B}{A D} = \frac{2}{3}$ ，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG²+DE²是定值，请求出这个定值．

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17. 如图，抛物线 $y = \frac{3 + \sqrt{3}}{6} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ ， $B$ 分别位于原点的左、右两侧， $B O = 3 A O = 3$ ，过点 $B$ 的直线与 $y$ 轴正半轴和抛物线的交点分别为 $C$ ， $D$ ， $B C = \sqrt{3} C D$ ．

(1)、求 $b$ ， $c$ 的值；

(2)、求直线 $B D$ 的函数解析式；

(3)、点 $P$ 在抛物线的对称轴上且在 $x$ 轴下方，点 $Q$ 在射线 $B A$ 上，当 $Δ A B D$ 与 $Δ B P Q$ 相似时，请直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标．

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18. 如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $CO$ 平分 $∠ B C D$ ．

(1)、求证：直线 $C D$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、如图2，记（1）中的切点为 $E$ ， $P$ 为优弧 $\overset{⌢}{A E}$ 上一点， $A D = 1$ ， $B C = 2$ .求 $\tan ∠ A P E$ 的值．

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19. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 是边 $A B$ 上的一点.

(1)、请用尺规作图法，在 $Δ A B C$ 内，求作 $∠ A D E$ ，使 $∠ A D E = ∠ B$ ， $D E$ 交 $A C$ 于 $E$ ；（不要求写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，若 $\frac{A D}{D B} = 2$ ，求 $\frac{A E}{E C}$ 的值.

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20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（-1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图像与反比例函数 $y = \frac{n - 3}{x}$ 的图像相交于A，P两点。

(1)、求m，n的值与点A的坐标；

(2)、求证： $Δ C P D$ ∽ $Δ A E O$

(3)、求 $\sin ∠ C D B$ 的值

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21. 综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形 $O A B C$ 的顶点A在 $x$ 轴的正半轴上，如图2，将正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 45 °)$ ， $A B$ 交直线 $y = x$ 于点 $E$ ， $B C$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ．

(1)、当旋转角 $∠ C O F$ 为多少度时， $O E = O F$ ；（直接写出结果，不要求写解答过程）

(2)、若点 $A (4 ， 3)$ ，求 $F C$ 的长；

(3)、如图3，对角线 $A C$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，交直线 $y = x$ 于点 $N$ ，连接 $F N$ ，将 $△ O F N$ 与 $△ O C F$ 的面积分别记为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ ，设 $S = S_{1} - S_{2}$ ， $A N = n$ ，求 $S$ 关于 $n$ 的函数表达式．

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22. 如图，在菱形ABCD中， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 2$ ，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F ，使 $A F = A E$ ，且CF、DE相交于点G

(1)、当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；

(2)、当 $C G = 2$ 时，求AE的长；

(3)、当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b (k > 0)$ 的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 图象的一个交点为 $P (1 ， m)$ ．

(1)、求m的值；

(2)、若 $P A = 2 A B$ ，求k的值．

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24. 在正方形 $A B C D$ 中，等腰直角 $△ A E F$ ， $∠ A F E = 90 °$ ，连接 $C E$ ，H为 $C E$ 中点，连接 $B H$ 、 $B F$ 、 $H F$ ，发现 $\frac{B F}{B H}$ 和 $∠ H B F$ 为定值.

(1)、① $\frac{B F}{B H} =$ ▲ ；
② $∠ H B F =$ ▲ .

③小明为了证明①②，连接 $A C$ 交 $B D$ 于O ，连接 $O H$ ，证明了 $\frac{O H}{A F}$ 和 $\frac{B A}{B O}$ 的关系，请你按他的思路证明①②.

(2)、小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2， $\frac{B D}{A D} = \frac{E A}{F A} = k$ ， $∠ B D A = ∠ E A F = θ$ （ $0 ° < θ < 90 °$ ）
求① $\frac{F D}{H D} =$ （用k的代数式表示）

② $\frac{F H}{H D} =$ （用k、 $θ$ 的代数式表示）

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25. 探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、 $\frac{1}{2}$ 倍、k倍．

(1)、若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？（填“存在”或“不存在”）．

(2)、继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：

①设新矩形长和宽为x、y ，则依题意 $x + y = 10$ ， $x y = 12$ ，

联立 ${\begin{array}{l} x + y = 10 \\ x y = 12 \end{array}$ 得 $x^{2} - 10 x + 12 = 0$ ，再探究根的情况：

根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的 $\frac{1}{2}$ 倍；

②如图也可用反比例函数与一次函数证明 $l_{1}$ ： $y = - x + 10$ ， $l_{2}$ ： $y = \frac{12}{x}$ ，那么，

a ．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？

b ．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的 $\frac{1}{2}$ ，若存在，用图像表达；

c ．请直接写出当结论成立时k的取值范围：．

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26. 如图，点 $B$ 是反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ （ $x > 0$ ）图象上一点，过点 $B$ 分别向坐标轴作垂线，垂足为 $A$ ， $C$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象经过 $O B$ 的中点 $M$ ，与 $A B$ ， $B C$ 分别相交于点 $D$ ， $E$ ．连接 $D E$ 并延长交 $x$ 轴于点 $F$ ，点 $G$ 与点 $O$ 关于点 $C$ 对称，连接 $B F$ ， $B G$ ．

(1)、填空： $k =$ ；

(2)、求 $Δ B D F$ 的面积；

(3)、求证：四边形 $B D F G$ 为平行四边形．

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27. 已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B(-3，0），C(-3，8)，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交□E于点D，连接OD．

(1)、求证：直线OD是□E的切线；

(2)、点F为x轴上任意一点，连接CF交□E于点G，连接BG：
当tan∠FCA= $\frac{1}{7}$ ，求所有F点的坐标（直接写出）；

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28. 如图，等边 $Δ A B C$ 中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合）， $Δ C D E$ 关于DE的轴对称图形为 $Δ F D E$ .

(1)、当点F在AC上时，求证：DF//AB；

(2)、设 $Δ A C D$ 的面积为S₁ ， $Δ A B F$ 的面积为S₂ ，记S=S₁-S₂ ， S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；

(3)、当B，F，E三点共线时。求AE的长。

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