2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.3 空间向量的运算坐标表示同步练习

试卷更新日期：2023-08-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 2) ， \vec{b} = (1 ， - 2 ， 1)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(4 ， - 2 ， 4)$ B、 $(2 ， - 1 ， 2)$ C、 $(3 ， 0 ， 3)$ D、 $(1 ， - 2 ， 1)$

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2. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， - 3 ， 4)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， m ， n)$ ， $m ， n \in R$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m - n =$ （）

A、2 B、-2 C、14 D、-14

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3. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 3 ， 2 ， 4)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2 ， 2)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{40}$ B、6 C、36 D、40

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4. 已知 $A (a ， 2) ， B (- 2 ， - 3) ， C (1 ， 6)$ 三点，且 $| A B | = | A C |$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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5. 设 $\vec{a} = (1 ， - 2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 1 ， 2)$ ， $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $k$ 等于（）

A、6 B、14 C、-14 D、-6

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6. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点.若 $\vec{B E} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $(x ， y ， z) =$ （）

A、 $(- 1 ， 1 ， \frac{1}{2})$ B、 $(1 ， - 1 ， \frac{1}{2})$ C、 $(1 ， 1 ， - \frac{1}{2})$ D、 $(- 1 ， - 1 ， - \frac{1}{2})$

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7. 已知 $\vec{a} = (3 ， 0 ， 2) ， \vec{b} = (2 ， x ， 1) ， \vec{c} = (- 2 ， 4 ， y) ， (\vec{a} - \vec{b}) / / \vec{c} ，$ 则 $x + y =$ （）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、0

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8. 如图，直角梯形 $A B C D$ ， $∠ A B C = 9 0^{∘}$ ， $C D = 2$ ， $A B = B C = 1$ ， $E$ 是边 $C D$ 中点， $Δ A D E$ 沿 $A E$ 翻折成四棱锥 $D^{'} - A B C E$ ，则点 $C$ 到平面 $A B D^{'}$ 距离的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $1$

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二、多项选择题

9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{c} = (2 ， - 3 ， 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 6$ B、 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 6$ C、 $(\vec{a} + 5 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ D、 $\vec{a} / / (\vec{b} - \vec{c})$

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10. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知向量 $\vec{a} = (1 ， m ， - 1)$ ， $\vec{b} = (2 n ， 1 ， 2)$ .以下各组值中能使得 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 的是（）

A、 $m = - \frac{1}{2}$ ， $n = - 1$ B、 $m = 0$ ， $n = 1$ C、 $m = 1$ ， $n = \frac{1}{2}$ D、 $m = 2$ ， $n = - 2$

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11. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $P A = A B = 2$ ，以B为原点，分别以 $\vec{B C}$ ， $\vec{B A}$ ， $\vec{A F}$ 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、点P的坐标为 $(0 ， 2 ， 2)$ B、 $\vec{P C} = (4 ， 0 ， - 2)$ C、 $\cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 > 0$ D、 $\vec{n} = (0 ， - 2 ， 2)$

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12. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 4) ， \vec{b} = (4 ， 3) ， \vec{c} = (- 4 ， - 3)$ ，则（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、 $| \vec{c} | = 25$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$

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13. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $E$ 、 $F$ 分别为棱 $B_{1} C_{1}$ 、 $B_{1} B$ 的中点，则下列结论正确的为（）

A、 $\vec{A D_{1}} = 2 \vec{E F}$ B、 $\vec{B_{1} D_{1}} \cdot \vec{A C} = 0$ C、 $| \vec{D F} | = 3$ D、 $\vec{D F}$ 为平面 $A C D_{1}$ 的一个法向量

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14. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 6$ ， $C C_{1} = 4$ ， $A C ⊥ B C$ ， $M$ 为棱 $A_{1} C_{1}$ 的中点； $E$ 为棱 $B B_{1}$ 上的动点（含端点），过点A､ $E$ ､ $M$ 作三棱柱的截面 $α$ ，且 $α$ 交 $B_{1} C_{1}$ 于 $Q$ ，则（）

A、线段 $M E$ 的最小值为 $\sqrt{45}$ B、棱 $B B_{1}$ 上的不存在点 $E$ ，使得 $B_{1} C ⊥$ 平面 $A E M$ C、棱 $B B_{1}$ 上的存在点 $E$ ，使得 $A E ⊥ M E$ D、当 $E$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点时， $M E = 7$

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三、填空题

15. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， m ， 6)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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16. 已知 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 0 ， 1) ， \overset{⇀}{b} = (- 2 ， - 1 ， 1) ， \overset{⇀}{c} = (3 ， 1 ， 0)$ ，则 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} + 2 \overset{⇀}{c} | =$ ．

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17. 已知 $A (1 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ， $C (0 ， 0 ， 1)$ ，则以 $A B$ ， $A C$ 为邻边的平行四边形的面积是.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 0 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2 ， 0)$ ， $\vec{c} = (2 ， 2 ， x)$ ．若 $(\vec{a} + 3 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $x =$ ．

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19. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， m)$ ， $\vec{b} = (6 ， n ， 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m + n =$ ．

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20. 已知 $\vec{a} = (x ， 3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (4 ， y ， 5)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 的取值范围为．

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四、解答题

21. 已知 $\vec{A B} = (- 2 ， 3 ， 5)$ ， $\vec{A C} = (4 ， 1 ， a)$ ， $\vec{A D} = (6 ， b ， - 2)$ .

(1)、若四边形 $A B C D$ 为平行四边形，求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若四边形 $A B C D$ 的对角线互相垂直，求实数 $a$ ， $b$ 满足的关系式.

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22. 如图，建立空间直角坐标系 $O x y z$ .单位正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 顶点A位于坐标原点，其中点 $B (1 ， 0 ， 0)$ ，点 $D (0 ， 1 ， 0)$ ，点 $A^{'} (0 ， 0 ， 1)$ .

(1)、若点E是棱 $B^{'} C^{'}$ 的中点，点F是棱 $B^{'} B$ 的中点，点G是侧面 $C D D^{'} C^{'}$ 的中心，则分别求出向量 $\overset{⇀}{O E} ， \overset{⇀}{O G} ， \overset{⇀}{F G}$ 的坐标；

(2)、在（1）的条件下，分别求出 $(\vec{O E} + \vec{O G}) \cdot \vec{F G}$ ， $| \vec{E G} |$ 的值.

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23. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0 ， 2)$ ， $\vec{c} = (m ， n ， - 4)$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，求 $| \vec{b} + \vec{c} |$ 的值；

(2)、若 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ， $| \vec{c} | = 9$ ，求 $(\vec{a} + \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c})$ 的值.

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24. 已知点 $A (0, 1, 2)$ ， $B (1, - 1, 3)$ ， $C (1, 5, - 1)$ ．

(1)、若D为线段 $B C$ 的中点，求线段 $A D$ 的长；

(2)、若 $\overset{⇀}{A D} = (2, a, 1)$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 1$ ，求a的值，并求此时向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A D}$ 夹角的余弦值．

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25. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为1，O为 $A_{1} C_{1}$ 中点，以D为原点， $D A ， D C ， D D_{1}$ 所在直线分别为x ， y ， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 $D - x y z$ .

(1)、求平面 $O D C_{1}$ 的法向量 $\vec{n}$ ，并证明 $B_{1} C / /$ 平面 $O D C_{1}$ ；

(2)、求异面直线 $B_{1} C$ 与 $O D$ 夹角的余弦值.

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一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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