2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.2 空间向量基本定理同步练习

试卷更新日期：2023-08-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是空间的一个基底，则下列说法错误的是（）

A、若 $x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $x = y = z = 0$ B、 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 两两共面，但 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 不共面 C、一定存在x，y，使得 $\vec{a} = x \vec{b} + y \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} - \vec{c} ， \vec{c} + 2 \vec{a}$ 一定能构成空间的一个基底

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2. 已知矩形 $A B C D ， P$ 为平面 $A B C D$ 外一点，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M ， N$ 分别为 $P C ， P D$ 上的点， $\vec{P M} = 2 \vec{M C} ， \vec{P N} = \vec{N D} ， \vec{N M} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A P}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{5}{6}$

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3. 在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱 $A A^{'}$ 的长为b，且 $∠ A^{'} A B = ∠ A^{'} A D = 12 0^{°}$ .则（）

A、 $A^{'} C$ 的长为 $\sqrt{2 a^{2} - 2 a b + b^{2}}$ B、直线 $B^{'} D$ 与AC所成角的余弦值 $\frac{a \sqrt{4 a^{2} + 2 b^{2}}}{4 a^{2} + 2 b^{2}}$ C、 $B D^{'}$ 的长为 $\sqrt{2 a^{2} + b^{2}}$ D、直线 $B^{'} D$ 与BC所成角的余弦值 $\frac{a - \frac{1}{2} b}{\sqrt{2 a^{2} + b^{2}}}$

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4. 设向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 不共面，空间一点P满足 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则A，B，C，P四点共面的一组数对 $(x ， y ， z)$ 是（）

A、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{4} ， \frac{3}{4} ， \frac{1}{2})$ C、 $(1 ， - 2 ， 3)$ D、 $(- \frac{1}{3} ， \frac{2}{3} ， \frac{1}{2})$

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5. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为平行四边形，M，N分别为棱 $B C$ ， $P D$ 上的点， $C M = \frac{1}{2} B M$ ， N是 $P D$ 的中点，向量 $\vec{M N} = - \vec{A B} + x \vec{A D} + y \vec{A P}$ ，则（）

A、 $x = \frac{1}{3}$ ， $y = - \frac{1}{2}$ B、 $x = - \frac{1}{6}$ ， $y = \frac{1}{2}$ C、 $x = - \frac{1}{3}$ ， $y = \frac{1}{2}$ D、 $x = \frac{1}{6}$ ， $y = - \frac{1}{2}$

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6. 已知A，B，C，D四点在平面 $α$ 内，且任意三点都不共线，点P为平面 $α$ 外的一点，满足 $\vec{A P} + \vec{B P} - 4 \vec{C P} + z \vec{D P} = \vec{0}$ ，则z＝（）

A、2 B、1 C、－1 D、－2

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7. 已知 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} ， \vec{c} - \vec{b} ， 2 \vec{a} + 2 \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} - \vec{b} ， - \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \vec{c} ， \vec{c} - \vec{a} ， \vec{a}$ D、 $\vec{a} - \vec{b} ， \vec{c} - \vec{b} ， \vec{c} - \vec{a}$

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8. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两共面，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面 C、对于空间的任意一个向量 $\vec{p}$ ，总存在实数 $x$ ， $y$ ， $z$ ，使得 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ D、若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一组基底，则 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} + \vec{c} ， \vec{c} + \vec{a}}$ 也是空间的一组基底

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二、多项选择题

9. 设 ${\vec{m} ， \vec{n} ， \vec{t}}$ 是空间的一组基底，则下列结论正确的是（）

A、基底 ${\vec{m} ， \vec{n} ， \vec{t}}$ 中的向量可以为任意向量. B、空间中任一向量 $\vec{a}$ ，存在唯一有序实数组 $(x ， y ， z)$ ，使 $\vec{a} = x \vec{m} + y \vec{n} + z \vec{t}$ C、若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ， $\vec{n} ⊥ \vec{t}$ ，则 $\vec{m} ⊥ \vec{t}$ D、 ${\vec{m} + 2 \vec{n} ， \vec{n} + 2 \vec{t} ， \vec{t} + 2 \vec{m}}$ 也可以构成空间的一组基底.

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10. 以下四个命题中错误的是（）

A、空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B、若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 为空间向量的一组基底，则 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} + \vec{c} ， \vec{c} + \vec{a}}$ 构成空间向量的另一组基底 C、对空间任意一点 $O$ 和不共线的三点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} - 2 \vec{O B} - \vec{O C}$ ，则 $P$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 四点共面 D、任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

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11. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} ， \vec{a} - \vec{b} ， 2 \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} ， \vec{a} - \vec{c} ， \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{a} + 2 \vec{b} ， \vec{a} - 2 \vec{b} ， \vec{a} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} - 2 \vec{b} ， 6 \vec{b} - 3 \vec{a} ， - \vec{c}$

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12. 在以下命题中，不正确的命题有（）

A、 $| \vec{a} | - | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ 是 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线的充要条件 B、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则存在唯一的实数 $λ$ ，使 $\vec{a} = λ \vec{b}$ C、对空间任意一点 $O$ 和不共线的三点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} - 2 \vec{O B} - \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面 D、若 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 为空间的一个基底，则 ${\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}}$ 构成空间的另一个基底

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13. 在三维空间中，定义向量的外积： $\vec{a} \times \vec{b}$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：① $\vec{a} ⊥ (\vec{a} \times \vec{b})$ ， $\vec{b} ⊥ (\vec{a} \times \vec{b})$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 和 $\vec{a} \times \vec{b}$ 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）：② $\vec{a} \times \vec{b}$ 的模 $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ （ $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ 表示向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角）在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，有以下四个结论，正确的有（）

A、 $| \vec{A B_{1}} \times \vec{A C} | = | \vec{A D_{1}} \times \vec{D B} |$ B、 $\vec{A B} \times \vec{A D} = \vec{A D} \times \vec{A B}$ C、 $\vec{A_{1} C_{1}} \times \vec{A_{1} D} 与 \vec{B D_{1}}$ 共线 D、 $6 | \vec{B C} \times \vec{A C} |$ 与正方体表面积的数值相等

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三、填空题

14. 已知P ， A ， B ， C四点共面，对空间任意一点O ，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} + \vec{O B} + t \vec{O C}$ ，则 $t =$ .

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15. 如图， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A D$ 、 $A B$ 、 $C D$ 的中点， $H$ 是 $A C_{1}$ 上的点， $G C_{1} / /$ 平面 $E F H$ .若 $A B = \sqrt{3}$ ，则 $A H =$ .

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16. 如图，在正四面体 $P - A B C$ 中， $M ， N$ 分别为 $P A ， B C$ 的中点， $D$ 是线段 $M N$ 上一点，且 $N D = 2 D M$ ，若 $\overset{⇀}{P D} = x \overset{⇀}{P A} + y \overset{⇀}{P B} + z \overset{⇀}{P C}$ ，则 $x + y + z$ 的值为．

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17. 下列关于空间向量的命题中，
①若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 与空间任意向量都不能构成基底，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ ；

②若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则有 $\vec{a} / / \vec{c}$ ；

③若 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 是空间的一组基底，且 $\vec{O D} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点共面；

④若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c} + \vec{a}$ ，是空间一组基底，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 也是空间的一组基底．

上述命题中，正确的有．

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18. 已知 $O$ 是空间任一点， $A, B, C, D$ 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且 $\overset{⇀}{O A} = 2 x \cdot \overset{⇀}{B O} + 3 y \cdot \overset{⇀}{C O} + 4 z \cdot \overset{⇀}{D O}$ ，则 $2 x + 3 y + 4 z =$ .

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19. 已知点M，N分别是空间四面体OABC的边OA和BC的中点，P为线段MN的中点，若 $\vec{O P}$ = $λ$ $\vec{O A}$ + $μ$ $\vec{O B}$ + $γ$ $\vec{O C}$ ，则实数λ+μ+γ=

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20. 已知空间向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1 ， | \vec{c} | = 8 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} ， \vec{a} \cdot \vec{c} = 4 ， \vec{b} \cdot \vec{c} = 5$ ，则对任意实数 $λ ， μ$ ， $| \vec{c} - (λ \vec{a} + μ \vec{b}) |$ 的最小值是．

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四、解答题

21.
如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=5，AD=3，AA₁=4，∠DAB=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，E是CC₁的中点，设 $\vec{A B}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A D}$ = $\vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}}$ = $\vec{c}$ ．
（1）用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{A E}$ ；
（2）求AE的长？

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22.
如图，在空间平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，若以 $\vec{A C}$ ， $\vec{A B_{1}}$ ， $\vec{A D_{1}}$ 为空间的一个基底，用这个基底表示 $\vec{A C_{1}}$ ．

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23.
如图，设O是▱ABCD所在平面外的任一点，已知 $\vec{O A}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{O B}$ = $\vec{b}$ ， $\vec{O C}$ = $\vec{c}$ 你能用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{O D}$ 吗？若能，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示出 $\vec{O D}$ ；若不能，请说明理由．

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24. 平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 $60 °$ .

(1)、求 $A C_{1}$ 的长；

(2)、求异面直线 $B D_{1}$ 与 $A C$ 夹角的余弦值.

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25. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $P A = 4$ ，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E ， F$ 分别为棱 $P D ， P C$ 的中点．

(1)、用向量 $\vec{A C} ， \vec{A D} ， \vec{A E}$ 表示 $\vec{B F}$ ；

(2)、求异面直线 $B F$ 与 $C E$ 所成角的余弦值．

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一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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