2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.1 空间向量及其运算同步练习

试卷更新日期：2023-08-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $C C_{1}$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B D_{1}} =$ （）

A、0 B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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2. 如图，在四面体 $A B C D$ 中，点 $E$ 为棱 $C D$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- 2 \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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3. 如图，向量 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{C D} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{B D}$ 可以表示为（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{b} - \vec{a} + \vec{c}$ D、 $\vec{b} - \vec{a} - \vec{c}$

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4. 如图在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C ， B D$ 相交于 $O$ ， $M$ 为 $O C_{1}$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{C M} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ .点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ， $N$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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6. 点 $P$ 是棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 上一点，则 $\vec{P A_{1}} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， - \frac{1}{2}]$ B、 $[- 1 ， - \frac{1}{4}]$ C、 $[- 1 ， 0]$ D、 $[- \frac{1}{2} ， 0]$

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7. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M ， N$ 分别是 $A_{1} C_{1} ， B B_{1}$ 的中点， $G$ 是 $M N$ 的中点，若 $\vec{A G} = x \vec{A B} + y \vec{A A_{1}} + z \vec{A C}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 如图，四面体 $A B C D$ 的所有棱长都相等， $A F = F D$ ， $B E = E C$ ，则 $c o s ⟨ \vec{A E} ， \vec{F C} ⟩ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{9}$

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9. 如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，H分别为 $C_{1} D_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ ， DE的中点．若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{F H}$ 可用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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10. 下列关于空间向量的说法中错误的是（）

A、零向量与任意向量平行 B、任意两个空间向量一定共面 C、零向量是任意向量的方向向量 D、方向相同且模相等的两个向量是相等向量

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二、多项选择题

11. 设动点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角线 $B D_{1}$ 上，记 $\vec{D_{1} P} = λ \vec{D_{1} B}$ 当 $∠ A P C$ 为钝角时，则实数可能的取值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、1

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12. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）．

A、 ${\vec{a}}^{2} = | \vec{a} |^{2}$ B、 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{{\vec{a}}^{2}} = \frac{\vec{b}}{\vec{a}}$ C、 ${(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} \cdot {\vec{b}}^{2}$ D、 ${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$

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13. 判断下列结论正确的是（）

A、空间中任意两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共面． B、在三个向量的数量积运算中 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})$ ． C、对于非零向量 $\vec{b}$ ，由数量积 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ ． D、若 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是空间任意四点，则有 $\vec{A B} + \vec{B C} = - \vec{C D} - \vec{D A}$ ．

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14. 下列命题正确的是（）

A、零向量与任意向量平行 B、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ 是向量 $\vec{a} = \vec{b}$ 的必要不充分条件 C、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{C D}$ 是共线向量，则点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 必在同一条直线上 D、空间中任意两个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，则 ${(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} \cdot {\vec{b}}^{2}$ 一定成立

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15. 在棱长均为1的四面体 $A B C D$ 中，下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{C D} = 0$ B、 $\vec{A D} + \vec{D C} + \vec{B A} + \vec{C B} = \vec{0}$ C、 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = \vec{C B} \cdot \vec{C D}$ D、 $| 2 \vec{A B} + \vec{B C} | = 2$

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16. 给出下列命题，其中正确的命题是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、若向量 $\vec{a}$ 是向量 $\vec{b}$ 的相反向量，则 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ C、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A C} = \vec{A_{1} C_{1}}$ D、若空间向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ， $\vec{p}$ 满足 $\vec{m} = \vec{n}$ ， $\vec{n} = \vec{p}$ ，则 $\vec{m} = \vec{p}$

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三、填空题

17. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $\vec{C A} = \vec{a} ， \vec{C B} = \vec{b} ， \vec{C C_{1}} = \vec{c} ，$ ，则 $\vec{A_{1} B}$ =.(用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示)

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18. 已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 为空间中任意四点，化简 $(\vec{A B} - \vec{C D}) - (\vec{A C} - \vec{B D}) =$ .

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19. 对于空间中的非零向量 $\overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{B C}$ ， $\overset{⇀}{A C}$ ，有下列各式：
① $\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{B C} = \overset{⇀}{A C}$ ；

② $\overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{B C}$ ；

③ $| \overset{⇀}{A B} | + | \overset{⇀}{B C} | = | \overset{⇀}{A C} |$ ；

④ $| \overset{⇀}{A B} | - | \overset{⇀}{A C} | = | \overset{⇀}{B C} |$ .

其中一定不成立的是（填序号）．

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20. 若 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 是棱长为 $1$ 的正四面体棱上互不相同的三点，则 $\vec{P Q} \cdot \vec{Q R}$ 的取值范围是.

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21. 正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为1，若动点p在线段 $B D_{1}$ 上运动，则 $\overset{⇀}{D C} \cdot \overset{⇀}{A P}$ 的取值范围是．

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22. 在棱长为a的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，向量 $\vec{B A_{1}}$ 与向量 $\vec{A C}$ 所成的角为.

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四、解答题

23. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1 ， ∠ B A D = 60^{°}$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 45^{°}$ .

求：(Ⅰ) $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ ；

(Ⅱ) $A C_{1}$ 的长.

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24. 如图，点M，N分别在对角线 $B D ， A E$ 上，且 $B M = \frac{1}{3} B D ， A N = \frac{1}{3} A E$ ．求证：向量 $\vec{M N} ， \vec{C D} ， \vec{D E}$ 共面．

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25. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，Q为 $P C$ 的中点.

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ ， $\vec{A P}$ 表示 $\vec{B Q}$ ；

(2)、若底面 $A B C D$ 是正方形，且 $P A = A B = 1$ ， $∠ P A B = ∠ P A D = \frac{π}{3}$ ，求 $| \vec{A Q} |$ .

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26. 如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且 $\frac{PH}{HC} = \frac{1}{2} ，$ 点G在AH上，且 $\frac{AG}{AH}$ =m，若G，B，P，D四点共面，求m的值.

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27. 如图所示，N，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 表示 $\vec{O P}$ 和 $\vec{O Q}$ .

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28. 在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为CD和AD的中点，试化简 $\vec{A G} + \frac{1}{3} \vec{B E} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ ，并在图中标出化简结果的向量．

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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.1 空间向量及其运算 同步练习

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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