2023-2024学年高中数学人教A版必修一 2.3 一元二次不等式同步练习

试卷更新日期：2023-08-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 甲、乙分别解关于x的不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ ．甲抄错了常数b，得到解集为 $(- 6 ， 1)$ ；乙抄错了常数c，得到解集为 $(2 ， 3)$ ．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式解集应为（）

A、 $(- 1 ， 6)$ B、 $(1 ， 6)$ C、 $(- 2 ， 3)$ D、 $(- 3 ， - 2)$

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2. 不等式 $(- x + 1) (2 x + 1) \geq 0$ 的解集为（）

A、 ${x ∣ - \frac{1}{2} < x < 1}$ B、 ${x ∣ x \leq - \frac{1}{2}$ 或 $x \geq 1}$ C、 ${x ∣ - \frac{1}{2} \leq x < 1}$ D、 ${x ∣ - \frac{1}{2} \leq x \leq 1}$

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3. 若不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集为 $[1 ， 3]$ ，则不等式 $\frac{a x + c}{c x + b} \geq 0$ 解集为（）

A、 $(- ∞ ， - 3] \cup [\frac{4}{3} ， + ∞)$ B、 $(- ∞ ， - 3] \cup (\frac{4}{3} ， + ∞)$ C、 $[- 3 ， \frac{4}{3}]$ D、 $[- 3 ， \frac{4}{3})$

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4. 已知 $x ∈ R$ ，则“ $x < 9$ ”是“ $x^{2} < 81$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. “ $x^{2} - 5 x - 14 < 0$ ”是“ $- 7 < x < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + 6 ， x \geq 0 \\ x + 6 ， x < 0 \end{array}$ ，则不等式 $f (x) > 3$ 的解集是（）

A、 $(- 3 ， 1) ∪ (3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， 3)$ C、 $(- 1 ， 1) ∪ (3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 3) ∪ (1 ， 3)$

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7. 不等式 $9 x^{2} + 6 x + 1 \leq 0$ 的解集是（）

A、 ${x | x \neq - \frac{1}{3}}$ B、 ${x | - \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}}$ C、 $\emptyset$ D、 ${x | x = - \frac{1}{3}}$

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8. 设 $m a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， (a \geq b) \\ b ， (a < b) \end{array}$ 则函数 $f (x) = m a x {x^{2} - x ， 1 - x^{2}}$ 的单调增区间为（）

A、 $[- 1 ， 0] ， [\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1] ， [0 ， \frac{1}{2}]$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}] ， [0 ， 1]$ D、 $[- \frac{1}{2} ， 0] ， [1 ， + \infty)$

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二、多项选择题

9. 与不等式 $x^{2} - x + 2 > 0$ 的解集相同的不等式有（）

A、 $- x^{2} + x - 2 < 0$ B、 $2 x^{2} - 3 x + 2 > 0$ C、 $x^{2} - x + 3 \geq 0$ D、 $x^{2} + x - 2 > 0$

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10. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集是 ${x | x \leq - 2$ 或 $x \geq 6}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集是 ${x | x < - 3}$ C、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集是 ${x | - \frac{1}{6} < x < \frac{1}{2}}$ D、 $a + b + c > 0$

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11. 已知 $p ： x \geq n$ ， $q ： 6 + 7 x - 3 x^{2} < 0$ ，下列给出的实数 $n$ 的值，能使p是q的充分不必要条件的是（）

A、 $n = 3$ B、 $n = \frac{7}{2}$ C、 $n = 4$ D、 $n = - \frac{2}{3}$

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12. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 2) \cup (3 ， + \infty)$ ，则（）

A、 $a < 0$ B、不等式 $b x - c > 0$ 的解集为 ${x | x < 6}$ C、 $4 a + 2 b + c < 0$ D、不等式 $a x^{2} - b x + a \geq 0$ 的解集为 $[- \frac{1}{3} ， \frac{1}{2}]$

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13. 若关于 $x$ 的二次不等式 $a x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集为 $(- 1 ， \frac{1}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $a + b = - 5$ C、 $a x^{2} + x - b > 0$ 的解集是 $(- \frac{2}{3} ， 1)$ D、 $a x^{2} + x - b > 0$ 的解集是 $(- \infty ， - \frac{2}{3}) \cup (1 ， + \infty)$

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14. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 解集为 ${x | - 1 < x < 4}$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 ${x | x < - \frac{4}{3}}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{4} < x < 1}$

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15. 已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} < 0 (a < 0)$ 的解集为 ${x | x_{1} < x < x_{2}}$ ，则（）

A、 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} < 0$ 的解集为 ${a | - \frac{4}{3} < a < 0}$ B、 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2}$ 的最小值为 $- \frac{4}{3}$ C、 $x_{1} + x_{2} + \frac{a}{x_{1} x_{2}}$ 的最大值为 $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $x_{1} + x_{2} + \frac{a}{x_{1} x_{2}}$ 的最小值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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16. 关于 $x$ 的不等式 $a (x - 1) (x - a) < 0$ 的解集可能是（）

A、 $(- \infty ， a) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1) \cup (a ， + \infty)$ C、 $(1 ， a)$ D、 $\emptyset$

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三、填空题

17. 不等式 $14 - 4 x^{2} \geq x$ 的解集为.

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18. 已知关于 $x$ 的一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{3})$ ，则关于 $x$ 的不等式 $b x^{2} - c x - a < 0$ 的解集为．

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19. 已知定义在 $R$ 上的运算“ $\otimes$ ”： $x \otimes y = x (1 - y)$ ，关于 $x$ 的不等式 $(x - a) \otimes (x + a) > 0$ .若 $a = 1$ ，则不等式的解集为﹔若 $\forall x \in [0 ， 2]$ 不等式恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 3}$ ，则不等式 $(a x + b) (c x + a) > 0$ 的解集为.

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21. 若集合 $A = {x | x - 5 \sqrt{x} + 6 > 0}$ ， $B = {x | \frac{x - 5}{x - 1} \geq 2}$ ，则 $(∁_{R} A) ∪ B =$

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22. 写出下列不等式的解集， $- x^{2} + 2 x - 3 > 0$ ：； $\frac{1 - 2 x}{x + 4} \leq 1$ ：．

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四、解答题

23. 解下列关于x的不等式，并将结果写成集合或区间的形式．

(1)、 $\frac{2 x - 3}{x + 1} \geq 1$ ．

(2)、 $x^{2} - (c + 2) x + 2 c < 0$ ．

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24. 已知p：实数x满足 $x^{2} - 3 a x + 2 a^{2} < 0$ ， $a > 0$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求实数x的取值范围；

(2)、已知q：实数x满足 $2 < x \leq 3$ ．若存在实数a，使得p是q的必要条件，求实数a的取值范围．

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25. 已知不等式 $(a + 1) x^{2} - 4 x - 6 < 0$ 的解集是 ${x | - 1 < x < 3}$ ．

(1)、求常数a的值；

(2)、若关于x的不等式 $a x^{2} + m x + 4 \geq 0$ 的解集为R，求m的取值范围．

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26. 已知“ $\exists x \in {x | - 2 < x < 2}$ ，使等式 $x^{2} - 2 x - m = 0$ ”是真命题

(1)、求实数m的取值范围M

(2)、设集合 $N = {x | a < x < a + 1}$ ，若“ $x \in N$ ”是“ $x \in M$ ”的充分条件，求a的取值范围.

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27. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 ${x ∣ x < 1$ ，或 $x > b}$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、当 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ 时，有 $2 x + y \geq k^{2} + k + 2$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

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28. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + (2 a - 1) x - 2 > 0$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{3}$ ，求不等式的解集；

(2)、若 $a \in R$ ，求不等式的解集；

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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 2.3 一元二次不等式 同步练习

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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