2023-2024学年高中数学人教A版必修一 2.1 等式性质和不等式性质同步练习

试卷更新日期：2023-08-05 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如果 $a < b < 0$ ，那么下列式子中一定成立的是（）

A、 $a^{2} > a b$ B、 $a^{2} < b^{2}$ C、 $\frac{a}{b} < 1$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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2. 已知 $a ， b$ 为非零实数，则“ $a > b$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a b < b^{2}$ B、 $a + b > 2 a$ C、 $a^{3} < b^{3}$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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4. 若 $a > b > 0 > c$ ，则（）

A、 $(a - b) c > 0$ B、 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ C、 $a - b > a - c$ D、 $\frac{1}{a + c} < \frac{1}{b + c}$

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5. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $a^{3} > b^{3}$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $a < b$ B、 $a^{2} b > a b^{2}$ C、 $| a | > - b$ D、 $a < \frac{a + b}{2}$

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7. 若 $a > b > 0$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $a - \frac{1}{b} > b - \frac{1}{a}$ D、 $\frac{a}{b} < \frac{a + 1}{b + 1}$

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8. 设 $M = 2 a (a - 2) ， N = (a + 1) (a - 3)$ ，则（）

A、 $M > N$ B、 $M \geq N$ C、 $M < N$ D、 $M ≤ N$

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二、多项选择题

9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ $=$ ”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“ $<$ ”和“ $>$ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若 $a$ ， $b$ ， $c \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $b > a > 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ C、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a + c > b + d$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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10. 已知实数x，y满足 $- 1 \leq x + y \leq 3 ， 4 \leq 2 x - y \leq 9$ ，则（）．

A、 $1 \leq x \leq 4$ B、 $- 2 \leq y \leq 1$ C、 $2 \leq 4 x + y \leq 15$ D、 $- 11 \leq 4 x + y \leq 2$

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11. 设 $b > a > 0$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、 $- \frac{1}{b} > - \frac{1}{a}$ B、 $0 < \frac{a}{b} < 1$ C、 $\frac{b}{a} < \frac{a}{b}$ D、 $a^{2} b < a b^{2}$

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12. 已知a、b、c、d均为实数，有下列命题，正确的是（）．

A、若 $a b > 0$ ， $b c - a d > 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{d}{b}$ B、若 $a b > 0$ ， $\frac{c}{a} > \frac{d}{b}$ ，则 $b c - a d > 0$ C、若 $b c - a d > 0$ ， $\frac{c}{a} > \frac{d}{b}$ ，则 $a b > 0$ D、若 $b > a > 0$ ， $c > 0$ ，则 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$

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13. 若 $a = 2 x^{2} - 8 x + 11 ， b = x^{2} - 6 x + 9 ， c = 1 - \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $b > a$ B、 $a > c$ C、 $a c > b c$ D、 $b > c$

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14. 已知 $a ， b ， c \in R$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $a c^{2} \geq b c^{2}$ B、 $a^{3} - b^{3} > 0$ C、 $a^{2} + 1 > b^{2} - 1$ D、 $3 a > 2 b$

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15. 下列说法正确的是（）

A、若 $a ， b \in R$ ，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ B、若 $a > b > 0$ ， $m > n > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + n}$ C、若 $a > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ D、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - 2 c > b - 2 d$

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16. 已知实数 $a > b > 0 > c > d$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a b > c d$ B、 $a + c > b + d$ C、 $a d^{2} > b c^{2}$ D、 $\frac{1}{b c} < \frac{1}{a d}$

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三、填空题

17. 已知 $x < y < 0$ ，则 $x^{2} + 1$ 与 $y^{2} + 1$ 的大小关系为.

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18. 比较大小： $\sqrt{6} + \sqrt{7}$ $2 \sqrt{2} + \sqrt{5}$ （用“>”或“<”符号填空）．

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19. 设 $x \in R$ ， $M = 3 x^{2} - x + 1$ ， $N = x^{2} + x - 1$ ，则M与N的大小关系为.

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20.

(1)、已知 $b g$ 糖水中含有 $a g$ 糖（ $b > a > 0$ ），若再添加 $m g (m > 0)$ 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则 $\frac{a}{b}$ $\frac{a + m}{b + m}$ .（填“>，<，=，≥，≤”之一）.

(2)、 $M = \frac{20192019}{20232023}$ ， $N = \frac{20192016}{20232020}$ ，则MN（填“>，<，=，≥，≤”之一）.

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21. 已知a＞0，b＞0，则p＝ $\frac{b^{2}}{a}$ ﹣a与q＝b﹣ $\frac{a^{2}}{b}$ 的大小关系是．

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22. 如果a>b ，给出下列不等式：
① $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ；②a³>b³；③ $\sqrt{a^{2}} > \sqrt{b^{2}}$ ；④2ac²>2bc²；⑤ $\frac{a}{b}$ >1；⑥a²＋b²＋1>ab＋a＋b.

其中一定成立的不等式的序号是．

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四、解答题

23. 已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围.

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24. 证明不等式．

(1)、 $b c - a d \geq 0$ ， bd＞0，求证： $\frac{a + b}{b} \leq \frac{c + d}{d}$ ；

(2)、已知a＞b＞c＞0，求证： $\frac{b}{a - b} > \frac{b}{a - c} > \frac{c}{a - c}$ ．

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25. 求解下列问题：

(1)、已知 $a \in R$ ，比较 $(a + 3) (a + 7)$ 和 $(a + 4) (a + 6)$ 的大小；

(2)、已知 $x < y < 0$ ，比较 $\frac{1}{x}$ 与 $\frac{1}{y}$ 的大小.

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26. 已知 $x, y \in R$ ，且 $x > y$ ，试判断 $x^{3} - y^{3}$ 与 $x y^{2} - x^{2} y$ 的大小，并用比较法给出证明.

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27. 若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ， $e < 0$ ，试比较 $\frac{e}{{(a - c)}^{2}}$ 与 $\frac{e}{{(b - d)}^{2}}$ 的大小.

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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 2.1 等式性质和不等式性质 同步练习

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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