2023-2024学年高中数学人教A版（2019）1.5 全称量词与存在量词分层训练

试卷更新日期：2023-08-04 类型：同步测试

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一、基础巩固

1. 下列结论中不正确的个数是（）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；

②命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 < 1$ ”是全称量词命题；

③命题 $p ： \exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$ ，则 $\neg p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$ .

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 若命题p的否定为： $\exists x < 1 ， x^{2} < 1$ ，则命题p为（）

A、 $\forall x < 1 ， x^{2} < 1$ B、 $\forall x < 1 ， x^{2} \geq 1$ C、 $\forall x \geq 1 ， x^{2} \geq 1$ D、 $\forall x \geq 1 ， x^{2} < 1$

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3. 命题“ $\exists x \in N ， 5^{x} < x^{3} + 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in N ， 5^{x} < x^{3} + 1$ B、 $\forall x \in N ， 5^{x} > x^{3} + 1$ C、 $\forall x \in N ， 5^{x} \geq x^{3} + 1$ D、 $\forall x \notin N ， 5^{x} \geq x^{3} + 1$

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4. 已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题p的否定是（）

A、某班至多有一个男生爱踢足球 B、某班至少有一个男生不爱踢足球 C、某班所有的男生都不爱踢足球 D、某班所有的女生都爱踢足球

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5. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， x^{2} + (a - 1) x + 1 < 0$ ，若命题p是假命题，则a的取值范围为（）

A、1≤a≤3 B、－1≤a≤3 C、1<a<3 D、0≤a≤2

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6. 能说明全称量词命题“ $\forall x \in R ， x (x^{2} - 3 x + 2) = 0$ ”为假命题的例子是（）

A、 $x = 0$ B、 $x = 1$ C、 $x = 2$ D、 $x = 3$

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7. 下列命题的否定是真命题的是（）

A、 $\exists m \in N ， \sqrt{m^{2} + 1} \in N$ B、菱形都是平行四边形 C、 $\exists a \in R$ ，一元二次方程 $x^{2} - a x - 1 = 0$ 没有实数根 D、平面四边形 $A B C D$ ，其内角和等于360°

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8. 如果命题 $\neg p$ 与 $\neg q$ 至少有一个为真命题，那么（）

A、p ， q均为真命题 B、p ， q均为假命题 C、p ， q中至少有一个为真命题 D、p ， q中至多有一个为真命题

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9. 下列命题中错误的是（）

A、命题：“若 $x = y$ ，则 $s i n x = s i n y$ ”是真命题 B、命题：“ $\exists x_{0} > 0 ， l n x_{0} = x_{0} - 1$ ”的否定是：“ $\forall x_{0} > 0 ， l n x_{0} \neq x_{0} - 1$ ” C、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ D、已知 $x_{0} > 0$ ，则“ $a^{x_{0}} > b^{x_{0}}$ ”是“ $a > b > 0$ ”的必要不充分条件

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10. 命题“ $\forall x \in [1 ， 2]$ ， $x^{2} - a \leq 0$ ”是真命题的充要条件是（）

A、 $a > 4$ B、 $a \geq 4$ C、 $a < 1$ D、 $a \geq 1$

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11. 已知命题 $p ： \forall x \in R ， 2^{x} < 3^{x}$ ，则命题 $p$ 的否定是．

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12. 命题“ $\exists x < 0$ ， $x^{2} + 2 x - 1 > 0$ ”的否定是.

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13. 有下列四个命题：
①对任意实数 $x$ 均有 $x + 1 > x$ ；②不存在实数 $x$ 使 $x^{2} + x + 1 < 0$ ；

③方程 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 至少有一个实数根；④ $\exists x \in R$ 使 $| x | \leq x$ ，

其中假命题是（填写所有假命题的序号）．

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14. 已知两个方程： $a x^{2} + 4 a x + 4 a - 3 = 0$ ， $x^{2} + (2 a - 1) x + a^{2} = 0$ ，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是．

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15. 若“ $\exists x \in R ， x^{2} + 3 x + m = 0$ ”是真命题，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“ $\exists x \in R ， x^{2} + 2 x + m \leq 0$ ”是假命题，求 $m$ 范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“ $\forall x \in R ， x^{2} + 2 x + m > 0$ ”是真命题，求 $m$ 范围．你认为，两位同学题中 $m$ 范围是否一致？(填“是”“否”中的一种)

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17. 已知命题 $p ： \exists x \geq - \frac{1}{2} ， 2 x + 2 - a = 0$ ”为真命题，则实数 $a$ 的取值范围为.

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18. 已知命题 $p ： \forall x \in R ， a x^{2} + 2 x + 1 \neq 0$ ”的否定为真命题，则实数 $a$ 的取值范围是.

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二、能力提升

19. 下列语句是存在量词命题的是（）

A、有的无理数的平方是有理数 B、有的无理数的平方不是有理数 C、对于任意 $x \in Z ， 2 x + 1$ 是奇数 D、存在 $x \in R ， 2 x + 1$ 是奇数

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20. 下列结论正确的是（）

A、“ $x > 1$ ”是“ $| x | > 1$ ”的充分不必要条件 B、“ $a \in P \cap Q$ ”是“ $a \in P$ ”的必要不充分条件 C、“ $\forall x \in R$ ，有 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ”的否定是“ $\exists x \in R$ ，使 $x^{2} + x + 1 < 0$ ” D、“ $x = 1$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的实数根”的充要条件是“ $a + b + c = 0$ ”

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21. 下列四个命题的否定为真命题的是（）

A、p：所有四边形的内角和都是 $360 °$ B、q： $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ C、 $r ： \exists x \in {x | x$ 是无理数 $}$ ， $x^{2}$ 是无理数 D、s：对所有实数a ，都有 $| a | > 0$

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22. 已知命题 $p ： \exists m \in {m ∣ - 1 \leq m \leq 1}$ ， $a^{2} - 5 a + 3 < m + 2$ ，若p是假命题，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq 0$ B、 $a \geq 5$ C、 $a \geq 0$ D、 $a \leq 5$

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23. 下列命题是真命题的是（）

A、“ $x \neq 1$ ”是“ $| x | \neq 1$ ”的必要不充分条件 B、若 $x + y \geq 6$ ，则 $x$ ， $y$ 中至少有一个大于3 C、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} \geq x^{2}$ 的否定是 $\exists x \in R$ ， $2^{x} < x^{2}$ D、已知 $p$ ： $\exists x < 0$ ， $x^{2} - x - 2 < 0$ ，则 $\neg p$ ： $\forall x \geq 0$ ， $x^{2} - x - 2 \geq 0$

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24. 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题.

(1)、凸多边形的外角和等于 $36 0^{∘}$ ；

(2)、矩形的对角线不相等；

(3)、若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；

(4)、有些实数a ， b能使 $| a - b | = | a | + | b |$ ；

(5)、方程 $3 x - 2 y = 10$ 有整数解.

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25. 判断下列命题的真假.

(1)、每一条线段的长度都能用正有理数来表示；

(2)、至少有一个直角三角形不是等腰三角形；

(3)、存在一个实数x ，使得方程 $x^{2} + x + 8 = 0$ 成立；

(4)、 $\exists x \in R ， x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ；

(5)、 $\forall x ， y \in Z ，（ x - y ）^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ .

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26. 已知 $p$ ：存在 $x_{0} \in R$ ， $m x_{0}^{2} + 1 \leq 0$ ， $q$ ：任意 $x \in R$ ， $x^{2} + m x + 1 > 0$ ．

(1)、若 $p \lor q$ 为假命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 为真， $p \land q$ 为假，求实数 $m$ 的取值范围．

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27. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， x^{2} - 6 x + a^{2} = 0$ ，当命题 $p$ 为真命题时，实数 $a$ 的取值集合为A ．

(1)、求集合A；

(2)、设集合 $B = {a | 3 m - 2 \leq a \leq m - 1}$ ，若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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28. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 4}$ ， $B = {x | x < - 2$ 或 $x > 5}$ .

(1)、求 $∁_{R} B$ 、 $(∁_{R} A) \cup B$ ；

(2)、若集合 $C = {x | 2 m < x < m + 1}$ ，且 $\exists x_{0} \in C$ ， $x_{0} \in A$ 为假命题，求 $m$ 的取值范围.

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29. 已知命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 m - 3 > 0$ ，命题 $q ： \exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 m x + m + 2 < 0$ .

(1)、若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若命题p ， q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.

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30. 已知命题：“ $\exists x_{0} \in R$ ，使得 ${x_{0}}^{2} - 2 m x_{0} + 4 m - 3 \leq 0$ ”为真命题．

(1)、求实数m的取值的集合A；

(2)、设不等式 $(x - a) (x - a - 3) \leq 0$ 的解集为B ，若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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一、基础巩固

二、能力提升

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