福建省福州市闽江口协作体2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2023-08-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $U = R$ ， $A = {x | - 1 < x < 4} ， B = {x | x \leq 2}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 $(- \infty ， - 1] ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup [2 ， + \infty)$ C、 $(4 ， + \infty)$ D、 $[4 ， + \infty)$

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2. 已知 $a \in R$ ，则“ $\frac{1}{a} < 1$ ”是“ $a > 1$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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3. 甲乙两人通过考试的概率分别为 $\frac{2}{5}$ 和 $\frac{1}{3}$ ，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是（）

A、 $\frac{2}{15}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{11}{15}$

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4. 已知 $a = \log_{3} 5$ ， $b = 3^{- 0.2}$ ， $c = 3^{1.2}$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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5. 设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数， $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则 $y = f (x)$ 的图象最有可能的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $\vec{A B} = (2 ， - 2 ， - 4)$ ，则直线 $A B$ 与平面 $α$ 的位置关系为（）

A、 $A B / / α$ B、 $A B \subset α$ C、 $A B ⊥ α$ D、相交但不垂直

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7. 函数 $f (x) = e^{x} + 2 x - 6$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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8. 若函数 $f (x) = l g (x^{2} - 4 x - 5)$ 在 $(t ， t + 1)$ 上单调，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 1] ∪ [2 ， 4]$ B、 $(- 1 ， 1] ∪ [2 ， 4)$ C、 $(- \infty ， 1] \cup [2 ， + \infty)$ D、 $(- ∞ ， - 2] \cup [5 ， + ∞)$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = (2 - 3 i) (1 + i)$ ，其共轭复数为 $\bar{z}$ ，则（）

A、 $z$ 的实部与虚部之和为 $4$ B、 $\bar{z} = 5 + i$ C、 $z^{2}$ 是纯虚数 D、 $| \bar{z} | = 2 \sqrt{6}$

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三、单选题

10. 在下列四个正方体中，能得出 $A B ⊥ C D$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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四、多选题

11. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (x \in R$ ， $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $f (x)$ 的图像关于点 $(- \frac{1}{6} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{3}]$ 上为增函数 D、把 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{2}{3}$ 个单位长度，得到一个奇函数的图象

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的不恒为零的函数，对于任意 $a$ ， $b \in R$ 都满足 $f (a b) = a f (b) + b f (a)$ ，则下述正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (1) = 0$ C、 $f (x)$ 是偶函数 D、若 $f (2) = 2$ ，则 $f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

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五、填空题

13. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若存在实数 $x ， y ， z$ ，使向量 $\vec{B M} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $x + 2 y + 3 z =$ ．

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14. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，若 $\vec{c} = 2 \vec{a} - \sqrt{5} \vec{b}$ ，向量 $\vec{a} ， \vec{c}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $c o s θ =$ ．

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15. 需要测量某塔的高度，选取与塔底 $D$ 在同一个水平面内的两个测量基点 $A$ 与 $B$ ，现测得 $∠ D A B = 7 5^{∘}$ ， $∠ A B D = 4 5^{∘}$ ， $A B = 90$ 米，在点 $A$ 处测得塔顶 $C$ 的仰角为 $3 0^{∘}$ ，则塔高 $C D$ 为米 $.$

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16. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 - x ， x \leq 2 \\ l o g_{0.5} (x - 1) ， x > 2 \end{array}$ ，若 $f (f (a)) = - 2$ ，则实数 $a$ 的值可以为

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六、解答题

17. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0) ， \vec{b} = (2 ， 1)$ .

(1)、当k为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线?

(2)、若 $\vec{A B}$ = $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ ， $\vec{B C}$ = $\vec{a} + m \vec{b}$ 且A，B，C三点共线，求m的值.

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18. 在① $a s i n C = \sqrt{3} c c o s A$ ， ② $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ ， ③ $\sqrt{3} s i n A - c o s A = 1$ 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且____．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $b$ ， $c$ ．

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19. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $P A / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求二面角 $B - D E - C$ 的余弦值．

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20. 为庆祝建党 $101$ 周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解 $.$ 某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛 $.$ 现把 $50$ 名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题：

(1)、求 $a$ 的值及这 $50$ 名党员成绩的众数；

(2)、若要选取成绩前 $10 %$ 的党员参加上一级的比赛，则应选取多少分以上的参赛？

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21. 已知向量 $\vec{m} = (s i n 2 x ， - \sqrt{3})$ ， $\vec{n} = (1 ， c o s 2 x)$ ，且函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的周期

(2)、若将函数 $f (x)$ 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再将所得图像向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位，得到 $g (x)$ 的图像，求函数 $g (x)$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 的值域．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x$

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a ， x \in [- 1 ， 1]$ 恰有 $2$ 个零点，求实数 $a$ 的取值范围

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