2023年浙教版数学八年级上册2.7 探索勾股定理同步测试（培优版）

试卷更新日期：2023-08-04 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形，如果一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（）

A、10dm B、12dm C、13dm D、15dm

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2. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结BG，若大正方形的面积是小正方形面积的5倍，则 $\frac{B G}{B E}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $\sqrt{13}$ D、4

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3. 如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 为边 $A C$ 上一点 $($ 不与端点重合 $)$ ，过点 $E$ 作 $E G ⊥ B C$ 于点 $G$ ，作 $E H ⊥ A D$ 于点 $H$ ，过点 $B$ 作 $B F / / A C$ 交 $E G$ 的延长线于点 $F .$ 若 $A G = 3$ ，则阴影部分的面积为（）

A、12 B、12.5 C、13 D、13.5

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4. 三国时期的赵爽利用图1证明了勾股定理，后来日本的数学家关孝和在“赵爽弦图”的启发下利用图2也证明了勾股定理.在图2中，E，B，F在同一条直线上，四边形ABCD，EFGA，HGDJ都是正方形，若正方形ABCD的面积等于100，△IJD面积等于 $\frac{27}{2}$ ，且已知AH＝2，则△KCD的面积等于（）

A、 $\frac{75}{2}$ B、39 C、 $\frac{77}{2}$ D、52

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5. 如图，O是正 $△ A B C$ 内一点， $O A = 2 \sqrt{7}$ ， $O B = 6$ ， $O C = 8$ ， $∠ B O C = 90 °$ ，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 $B O^{'}$ ，下列结论：①点O与 $O^{'}$ 的距离为6；② $∠ A O C = 120 °$ ；③ $S_{△ A O B} = 3 \sqrt{7}$ ；④ $S_{四边形 A O B O^{'}} = 6 \sqrt{7} + 6 \sqrt{3}$ ；⑤点P为 $△ A B C$ 内一点，则点P到 $△ A B C$ 三个顶点的距离和最小为 $10 \sqrt{3}$ .其中正确的结论是（）

A、①②③⑤ B、①③④ C、②③④⑤ D、①②⑤

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6. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BNMC，四块阴影部分的面积分别S₁、S₂、S₃、S₄ ．则 $S_{1} - S_{2} + S {}_{3}+ S_{4}$ 等于（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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7. 在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG、DH分别与边AC、BC交于E，F两点．下列结论：
①AE+BF= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ AB；②△DEF始终为等腰直角三角形；③S_{四边形CEDF}= $\frac{1}{8}$ AB²；④AE²+CE²=2DF² ．

其中正确的是（）

A、①②③④ B、①②③ C、①④ D、②③

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8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连结DH，IJ.图中两块阴影部分面积分别记为S₁ ， S₂.若S₁：S₂＝1：4，S_四边形边_BAHE＝18，则四边形MBNJ的面积为（）

A、5 B、6 C、8 D、9

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9. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°， $A B = \frac{1}{2} B C = 1$ ，则下列结论：①∠CAD=30° ② $B D = \sqrt{7}$ ③S_{平行四边形ABCD}=AB•AC ④ $O E = \frac{1}{4} A D$ ，正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B ，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON ，则△MON周长的最小值为（）

A、2＋3 $\sqrt{2}$ B、2＋2 $\sqrt{10}$ C、2＋2 $\sqrt{13}$ D、5＋ $\sqrt{13}$

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二、填空题（每空3分，共24分）

11. 如图，圆柱底面半径为 $\frac{2}{π} c m$ ，高为 $9 c m$ ，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为cm.

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12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 $y = - x + 2$ 与坐标轴交于A，B两点， $O C ⊥ A B$ 于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转 $45^{\circ}$ ，得到线段 $A P^{'}$ ，连接 $C P^{'}$ ，则线段 $C P^{'}$ 的最小值为．

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13. 气动升降桌由于高度可调节，给人们学习生活带来许多便捷．如图1所示是桌子的侧平面示意图，AC，BC，DC，DE，HG是固定钢架，HG垂直桌面MN，GE是位置可变的定长钢架．DF是两端固定的伸缩杆，其中，DE＝20cm，GE＝39cm，GF＝13cm，∠EDC是一个固定角为150°，当GE旋转至水平位置时，伸缩杆最短，此时伸缩杆DF的长度为 cm．点D的离地高度为60cm，HG＝10cm，小南将桌子调整到他觉得最舒服的高度，此时发现FD＝FE，则桌面高度为 cm．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E ．$ 若 $∠ B = 30 °$ ， $A E = 1$ .

(1)、 $B E$ 的长为；

(2)、在 $△ A B C$ 的腰上取一点 $M$ ，当 $△ D E M$ 是等腰三角形时， $B M$ 长为.

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15. 如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 为边 $AB$ 的中点， $E$ 、 $F$ 分别为边 $AC$ 、 $BC$ 上的点，且 $AE = AD$ ， $BF = BD .$ 若 $DE = \sqrt{2}$ ， $DF = 2$ ，则 $∠ EDF =$ $°$ ，线段 $AB$ 的长度 $=$ ．

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16. 如图，一次函数y＝- $\frac{3}{4}$ x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为.

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中. $∠ B A C = 90 ° ， ∠ A B C = 2 ∠ C$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于E， $A D ⊥ B E$ 于D.下列结论：① $A C - B E = A E$ ；②点E在线段 $B C$ 的垂直平分线上：③ $∠ D A E = ∠ C$ ；④ $B D = 2 D E$ ；⑤ $B C = 4 A D$ ，其中正确的有（填结论正确的序号）.

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三、综合题（共7题，共66分）

18. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为正数，满足如下两个条件：
$a + b + c = 32$ ①
$\frac{b + c - a}{b c} + \frac{c + a - b}{c a} + \frac{a + b - c}{a b} = \frac{1}{4}$ ②
证明：以 $\sqrt{a}$ ， $\sqrt{b}$ ， $\sqrt{c}$ 为三边长可构成一个直角三角形.

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19. 如图，直线 $B C$ 经过原点O，点A在x轴上， $A D ⊥ B C$ 于点D， $B F ⊥ C F$ 于点F，已知点 $A (5 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 2)$ ， $C (\frac{5}{2} ， - 5)$ ， $F (- 1 ， - 5)$ ，求 $A D$ 的长度．

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20. 在同一平面内的两个图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M，N间的“最距离”，记作： $d (M ， N)$ ．
如图，点B，C在数轴上表示的数分别为0，2， $A B ⊥ B C$ 于点B，且 $A B = B C$ ．

(1)、若点D在数轴上表示的数为5，求d（点D， $△ A B C$ ）；

(2)、若点E，F在数轴上表示的数分别是x， $x + 2$ ，当d（线段 $E F$ ， $△ A B C$ ） $\geq 2 \sqrt{5}$ 时，求x的取值范围．

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21. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角 $C_{1}$ 处

(1)、请你在下面网格（每个小正方形边长为1）中，画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

(2)、当 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $C C_{1} = 5$ 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；

(3)、我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为“面积法”．请“面积法”求点 $B_{1}$ 到最短路径的距离．

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22. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $P$ 为边 $A B$ 上异于 $A$ ， $B$ 的一个动点，作点 $A$ 关于 $C P$ 的对称点 $A^{'}$ ，连结 $A^{'} P$ ， $A^{'} C$ ，交直线 $A B$ 于点 $Q$ .

(1)、若 $A C = 8$ ， $B C = 6$ ， $C E$ 是边 $A B$ 上的高线.
①求线段 $C E$ 的长；

②当 $∠ P Q A^{'} = 90 °$ 时，求线段 $A^{'} Q$ 的长；

(2)、在 $∠ A = 35 °$ 的情况下，当 $△ A^{'} P Q$ 是等腰三角形时，直接写出 $∠ A C A^{'}$ 的度数.

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23. 如图，在边长为 $6$ 的正方形 $A B C D$ 中，过 $A D$ 中点E作正 $△ E A F$ ，过点F的直线分别交边 $A B$ 、 $D C$ 于点G、H、已知点M、N分别是线段 $F H$ 、 $A B$ 的动点，且 $△ E M N$ 是等边三角形.

(1)、判断 $E F$ 与 $G H$ 的位置关系，并说明理由.

(2)、当点N在线段 $G B$ 上时
①求证： $A G = F G$
②试判断 $M H + G N$ 的结果是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值.

(3)、设 $∠ N E A = α$ ，点A关于 $E N$ 的对称点为 $A^{'}$ ，若点 $A^{'}$ 落在 $△ E M N$ 的内部，请直接写出 $α$ 的范围.

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24. 定义：若三角形满足：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边的平方，则称这个三角形为“类勾股三角形”.如图1在 $△ A B C$ 中， $A B^{2} + A C^{2} - A B \cdot A C = B C^{2}$ ，则 $△ A B C$ 是“类勾股三角形”.

(1)、等边三角形一定是“类勾股三角形”，是命题（填真或假）.

(2)、若 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A B = c ， A C = b ， B C = a$ ，且 $b > a$ ，若 $△ A B C$ 是“类勾股三角形”，求 $∠ B$ 的度数.

(3)、如图2，在等边三角形 $A B C$ 的边 $A C ， B C$ 上各取一点 $D$ ， $E$ ，且 $A D < C D ， A E ， B D$ 相交于点 $F$ ， $B G$ 是 $△ B E F$ 的高，若 $△ B G F$ 是“类勾股三角形”，且 $B G > F G$ .
①求证： $A D = C E$ .
②连结 $C G$ ，若 $∠ G C B = ∠ A B D$ ，那么线段 $A G ， E F ， C D$ 能否构成一个“类勾股三角形”？若能，请证明；若不能，请说明理由.

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2023年浙教版数学八年级上册2.7 探索勾股定理 同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空3分，共24分）

三、综合题（共7题，共66分）

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