广东省广州市花都区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列根式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{9}$ D、 $\sqrt{20}$

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2. 校运会100米项目预赛，15名运动员的成绩各不相同，取前8名参加决赛，其中运动员小米已经知道自己的成绩他想确定自己是否进入决赛，只需要知道这15名运动员成绩的（）

A、平均数 B、众数 C、中位数 D、方差

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3. 根据如图所示的数据， $B C$ 的长为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、4 D、 $\sqrt{10}$

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4. 下列函数中，是一次函数的是（）

A、 $y = x^{2} + 1$ B、 $y = 0$ C、 $y = \frac{2}{x}$ D、 $y = - \frac{x}{3} - 1$

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5. 下列二次根式的运算正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ B、 $\sqrt{3} + \sqrt{3} = \sqrt{6}$ C、 $5 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{2}$

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6. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，且 $A C + B D = 36 ， A B = 11$ ，则 $△ O C D$ 的周长为（）

A、27 B、28 C、29 D、30

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7. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 $5$ 里， $12$ 里， $13$ 里，则该沙田的面积为（）平方里．

A、 $30$ B、 $50$ C、 $60$ D、 $65$

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8. 对于一次函数 $y = - 2 x + 4$ ，下列结论正确的是（）

A、函数值 $y$ 随自变量 $x$ 的增大而增大 B、函数的图象经过第三象限 C、函数的图象与 $x$ 轴的交点坐标是 $(0 ， 4)$ D、函数的图象向下平移4个单位得 $y = - 2 x$ 的图像

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9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $O A B C$ 是矩形，点 $C$ 的坐标为 $(0 ， 6)$ ，点 $A$ 的坐标为 $(8 ， 0)$ ，点 $D 、 E 、 F 、 G$ 分别是各边的中点，顺次连接各中点，并连接 $D F ， E G$ 交于点 $M$ ，点 $N$ 为 $G F$ 的中点，则 $M N$ 的长为（）

A、2 B、2.5 C、1.5 D、3

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10. 如图，在边长为10的正方形 $A B C D$ 对角线上有E，F两个动点，且 $A B = \sqrt{2} E F$ ，点P是 $B C$ 中点，连接 $A E ， P F$ ，则 $A E + P F$ 最小值为（）

A、 $5 \sqrt{5}$ B、 $10 \sqrt{5}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、10

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二、填空题

11. 要使式子 $\sqrt{x + 1}$ 有意义，则x的取值范围

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12. 甲、乙两人参加 $4$ 月 $7$ 日世界卫生日“健康知识”竞赛，经过 $5$ 轮比赛，他们的平均成绩都是 $98$ 分．若两人比赛成绩的方差分别为 $S_{甲}^{2} = 3.85$ ， $S_{乙}^{2} = 2.52$ ，则两人中比赛成绩更加稳定的是．

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13. 已知一次函数 $y = \frac{1}{2} x$ 的图象经过点 $(4 ， y_{1})$ 、 $(5 ， y_{2})$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“ $<$ ”、“ $=$ ”或“ $>$ ”）．

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，请添加条件，使得菱形 $A B C D$ 为正方形．（只能添加一个条件）

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15. 点 $A (1 ， 5)$ 、 $B (- 1 ， b)$ 是一次函数 $y = k x + 3$ 图象上的两个点，则 $b =$ ．

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16. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，E是 $C D$ 上一点，且 $∠ A B E = 75 °$ ，过点E作 $E P ∥ B C$ 交 $B D$ 点P，过点P作 $P G ⊥ B C$ 于点G，连接 $A P ， G E$ ，下列结论：① $B E = \sqrt{3} D E$ ；② $A P = G E$ ；③ $D E = 4 \sqrt{3} - 4$ ；④ $B P^{2} + D P^{2} = 2 A P^{2}$ 正确的是：．

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三、解答题

17. 计算： $(\sqrt{24} - \sqrt{32}) \div 2 \sqrt{2}$

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18. 计算： $\frac{2}{a^{2} - 1} + \frac{1}{a + 1}$ ．

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19. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 交于点 $O$ ，过点 $B$ 作 $B P ∥ A C$ ，过点 $C$ 作 $C P ∥ B D ， B P$ 与 $C P$ 相交于点 $P$ ，试判断四边形 $O B P C$ 的形状，并说明理由．

解：四边形 $O B P C$ 的形状是      ▲             ，理由如下：

∵      ▲

∴四边形 $O B P C$ 是平行四边形

∵四边形 $A B C D$ 是矩形

∴      ▲            （矩形对角线相等）      ▲            （矩形对角线互相平分）

∴ $O B ＝ O C$ （等量代换）

∵在平行四边形 $O B P C$ 中 $O B ＝ O C$

∴四边形 $O B P C$ 的形状是      ▲             ．

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20. 2023年广州市体育中考保持分值不变，满分为70分，由统一考试50分和体育素质综合评价20分构成．其中统一考试模式由“必考（二选一）＋选考一（五选一）＋选考二（三选一）”调整为“十选二”，给予学生充分多样的选择，并减少一项考试项目．某校从九年级选考“一分钟跳绳”330名同学中随机抽得12名同学的跳绳个数（单位：个）如下：181，210，196，173，182，198，182，195，182，212，213，197．

(1)、样本数据（12名同学的一分钟跳绳个数）的中位数是，众数是．

(2)、已知中考体育一分钟跳绳达到182个即为满分，试估计该校九年级选考一分钟跳绳的330名学生中有多少人能取得满分？

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $A C = 13$ ， $B C$ 边上的中线 $A D = 6$ ，延长 $A D$ 至点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $C E$ ．

(1)、求证： $C E = A B$ ．

(2)、求 $C D$ 的长．

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22. 如图在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 6$ ，将边 $D C$ 延长到点 $E$ ，使 $C E = D C$ ，连接 $A E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $A C 、 B E$ ．

(1)、求证：四边形 $A B E C$ 是平行四边形；

(2)、若 $A E = A D$ ，求四边形 $A B E C$ 周长．

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23. 为了贯彻双减要求，丰富校园文化生活，增强班级团队凝聚力，某校八年级今年计划举办一场主题为“缤纷六月，篮出梦想”的首届“校 $B A$ ”班际篮球赛．该校计划为班际篮球赛购置若干个篮球，经过与某体育用品店经销商沟通， $A$ 型号篮球的单价比 $B$ 型号的篮球单价多40元，且用1200元购买 $A$ 型号篮球个数与用600元购买 $B$ 型号篮球的个数相等．

(1)、求 $A$ 型号篮球和 $B$ 型号篮球的单价分别是多少元？

(2)、该体育用品店给出了两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案．
方案一：所有商品打9折销售

方案二：买3个 $A$ 型号篮球，免费赠送1个 $B$ 型号篮球（不足3个不赠送）．

若该校需要购买15个 $A$ 型号篮球和 $x$ （ $x ≥ 5$ ）个 $B$ 型号篮球，则上述两种购买方案中，哪一种方案更省钱，并说明理由．

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24. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D = 20 c m$ ， $A B = 8 c m$ ， $B C = 26 c m$ ，动点 $P$ 从 $A$ 点开始沿 $A D$ 边向 $D$ 以1cm/秒的速度运动，动点 $Q$ 从 $C$ 点开始沿 $C B$ 边向 $B$ 以3cm/秒的速度运动， $P 、 Q$ 分别从 $A 、 C$ 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 $t$ 秒．问：

(1)、 $A P$ 的长度为 $c m$ ， $P D$ 的长度为 $c m$ ，（用 $t$ 的式子表示），其中 $t$ 的取值范围为．

(2)、当 $t$ 为何值时，四边形 $P B Q D$ 是平行四边形，请说明理由；

(3)、朱华同学研究发现：按以上变化，四边形 $P B Q D$ 在变化过程中不可能为菱形，除非改变动点的运动速度．请探究如何改变 $Q$ 点的速度（匀速运动），使四边形 $P B Q D$ 在某一时刻为菱形，求此时点 $Q$ 的速度．

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25. 定义：如图，只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．

(1)、如图1，点P在直线 $y = x$ 上且横坐标是4，点 $E (0 ， 2)$ ，点 $F (6 ， 0)$ ，连接 $P E ， P F$ ．判断：四边形 $P E O F$ 损矩形（填“是”或“不是”）；

(2)、如图2，点E在y轴正半轴上，点F在x轴正半轴上，点P是直线 $y = x$ 上位于第一象限的一个动点，四边形 $P E O F$ 是“损矩形”，请确定： $O E ＋ O F$ 与 $O P$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、如图3，若 $M (0 ， 6) ， N (8 ， 0)$ ，
①在直线 $l_{2}$ ： $y = 2 x$ 上找一个点Q，使得四边形 $Q M O N$ 为损矩形，求点Q的坐标；

②K点也在直线 $l_{2}$ ： $y = 2 x$ 上且 $S_{△ K M N} =$ $S_{四边形 Q M O N}$ ，直接写出K坐标．

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