北京市房山区2022-2023学年高一下学期期末数学检测试题

试卷更新日期：2023-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (1 ， - 2)$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $C = 60 °$ ，则 $c$ 等于（）

A、 $\sqrt{7}$ B、7 C、 $\sqrt{19}$ D、19

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3. 下列命题中，正确的是（）

A、一条直线和一个点确定一个平面 B、两个平面相交，可以只有一个公共点 C、三角形是平面图形 D、四边形是平面图形

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4. 在如图所示的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} C$ 所成角的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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5. 如图，在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O_{1}$ ， $O$ 分别为上、下底面中心， $E_{1}$ ， $E$ 分别为 $B_{1} C_{1}$ ， $B C$ 的中点，则下列结论中错误的是（）

A、 $O_{1} O C C_{1}$ 是直角梯形 B、 $E_{1} E C C_{1}$ 是直角梯形 C、直线 $A D$ 与直线 $B_{1} B$ 异面 D、直线 $O_{1} O$ 与直线 $B_{1} B$ 异面

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6. 已知平面直角坐标系中的3点 $A (2 ， 2) ， B (6 ， 0) ， C (0 ， 0)$ ，则 $△ A B C$ 中最大角的余弦值等于（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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7. 在三棱锥 $V - A B C$ 中， $V A ， V B ， V C$ 两两垂直， $V A = V B = V C = 1$ ，则点 $V$ 到平面 $A B C$ 的距离等于（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 设 $α ， β$ 是两个不同的平面， $m ， n$ 是两条不同的直线，且 $m ， n \subset α$ ，则“ $α / / β$ ”是“ $m / / β$ 且 $n / / β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 在 $△ A B C$ 中，若 $B = 3 A$ ，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(0 ， 3)$

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10. 如图，在各棱长均为1的的四面体 $P - A B C$ 中，E是PA的中点，Q为直线EB上的动点，则 $A Q + C Q$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}}$ B、 $\sqrt{1 + \frac{\sqrt{6}}{3}}$ C、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ D、2

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二、填空题

11. 在 $△ A B C$ 中，若 $c o s A = - \frac{3}{5}$ ，则 $s i n A =$ .

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12. 一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知扇形的半径为3，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则扇形的弧长等于；该圆锥的体积等于.

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13. 已知一个长方体的 $8$ 个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为 $2$ ， $3$ ， $\sqrt{3}$ ，则长方体的体对角线的长等于；球的表面积等于.

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14. 已知l，m是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到 $l ⊥ α$ 的是.（填入条件的序号即可）
① $l / / m$ ；② $α / / β$ ；③ $m ⊥ α$ ；④ $l ⊥ β$ .

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15. 如图所示，在倾斜角等于 $15 °$ 的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是 $45 °$ 时，旗杆在山坡上的影子的长是30米，则旗杆的高等于米.

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16. 如图1，在矩形ABCD中， $A B = 2 A D = 2$ ， E为AB的中点，将 $△ A D E$ 沿DE折起，点A折起后的位置记为点 $A_{1}$ ，得到四棱锥 $A_{1} - B C D E$ ， M为AC的中点，如图2.某同学在探究翻折过程中线面位置关系时，得到下列四个结论：

①恒有 $A_{1} D ⊥ A_{1} E$ ； ②恒有 $B M / /$ 平面 $A_{1} D E$ ；

③三棱锥 $A_{1} - D E M$ 的体积的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ ； ④存在某个位置，使得平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $A_{1} C D$ .

其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题

17. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A_{1} D_{1}$ ， $D_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} A / /$ 平面 $D_{1} B_{1} B$ ；

(2)、求证： $D_{1} B ⊥ A C$ ；

(3)、求证： $A$ ， $C$ ， $E$ ， $F$ 四点共面.

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18. 在 $△ A B C$ 中， $A = 60 °$ ， $a = \sqrt{6}$ ， $b = 2$ .

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + 2 c o s^{2} x - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的最小值及取得最小值自变量 $x$ 的值.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $M$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、求证： $P M ⊥ B C$ ；

(2)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(3)、在棱 $P A$ 上是否存在一点 $N$ ，使得 $P C / /$ 平面 $B M N$ ?若存在，求 $\frac{A N}{N P}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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21. 某城市计划新修一座城市运动主题公园，该主题公园为平面五边形 $A B C D E$ （如图所示），其中三角形 $A B E$ 区域为儿童活动场所，三角形 $B C D$ 区域为文艺活动场所，三角形 $B D E$ 区域为球类活动场所， $A B ， B C ， C D ， D E ， E A$ 为运动小道（不考虑宽度）， $∠ B C D = ∠ B A E = 12 0^{∘}$ ， $B C = C D = 2 \sqrt{3} k m$ ， $D E = 8 k m$ .

条件①： $c o s ∠ D B E = \frac{3}{5}$ ；

条件②： $∠ C D E = 12 0^{∘}$ .

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

(1)、求 $B D$ 的长度；

(2)、再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 $B E$ 的长度；

(3)、在（2）的条件下，应该如何设计，才能使儿童活动场所（即三角形 $A B E$ ）的面积最大？

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