甘肃省酒泉市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = 2 x^{3} - 1$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的平均变化率为（）

A、2 B、1 C、-2 D、-1

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2. 已知空间向量 $\vec{m} = (2 ， 1 ， 4)$ ， $\vec{n} = (- 1 ， λ ， - 2)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、-10 B、10 C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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3. 某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有 $97.5 %$ 的把握但没有 $99 %$ 的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，则 $χ^{2}$ 的观测值可能为（）

A、 $χ^{2} = 11.208$ B、 $χ^{2} = 7.869$ C、 $χ^{2} = 6.625$ D、 $χ^{2} = 3.206$

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4. 若函数 $f (x) = 2 x^{2} - l n x$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $x + a y + 1 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、3

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5. 如图所示，在底面为正三角形的三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A B = \sqrt{2} B B_{1}$ ，则 $A B_{1}$ 与 $C_{1} B$ 所成的角的大小为（）

A、60° B、45° C、90° D、120°

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6. 从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型 $y = c_{1} e^{c_{2} x}$ （其中e为自然对数的底数）拟合，设 $z = l n y$ ，其变换后得到一组数据：

x

20

23

25

27

30

z

2

2.4

3

3

4.6

由上表可得经验回归方程 $z = 0.2 x + a$ ，则当x＝60时，蝗虫的产卵量y的估计值为（）

A、 $e^{6}$ B、10 C、6 D、 $e^{10}$

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7. 现有红、橙、黄、蓝、绿、紫6只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和紫色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 若方程 $a - 2 l n x = - x^{2} - 1$ 在 $x \in [\frac{1}{e^{2}} ， e^{2}]$ 上有解，则实数a的取值范围是（）

A、 $[1 - e^{2} ， - 3 - \frac{1}{e^{2}}]$ B、 $[3 - e^{4} ， - 2]$ C、 $[- 5 - \frac{1}{e^{4}} ， + \infty]$ D、 $[1 - e^{2} ， - 2]$

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二、多选题

9. 若函数 $f (x)$ 在R上可导，且 $f (x) = x^{2} - 3 f^{'} (1) x + m (m \in R)$ ，则（）

A、 $f^{'} (1) = \frac{1}{2}$ B、 $f^{'} (0) = - \frac{3}{2}$ C、 $f (0) < f (1)$ D、 $f (0) > f (1)$

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10. 下列说法错误的是（）

A、在两个变量x与y的列联表中，当 $| a d - b c |$ 越大，两个变量有关联的可能性越大 B、若所有样本点都在回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 上，则变量间的相关系数是-1 C、相关系数越接近于0，变量间的线性相关程度越低 D、独立性检验一定能给出明确的结论

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11. 下列结论正确的是（）

A、若随机变量 $X ~ N (2 ， 9)$ ，则 $P (X \leq - 1) = P (X \geq 5)$ B、已知随机变量X，Y满足 $X + 2 Y = 8$ ，若 $X ~ B (10 ， 0.4)$ ，则 $E (Y) = 2$ ， $D (Y) = 0.6$ C、有8名学生，其中5名男生，从中选出4名学生，选出的学生中男生人数为 $X$ ，则其数学期望 $E (X) = 3$ D、离散型随机变量 $X$ 服从两点分布，且 $P (X = 0) = 2 - 5 P (X = 1) = a$ ，则 $a = \frac{3}{4}$

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M，N，P，Q分别为 $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ ， AD， $A_{1} D_{1}$ 的中点，则下列结论错误的是（）

A、 $A A_{1} ⊥ Q N$ B、平面 $A A_{1} C_{1} / /$ 平面PQN C、二面角 $M - A A_{1} - Q$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、二面角 $M - P N - Q$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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三、填空题

13. 在空间坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(2 ， - 1 ， - 1)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1 ， 2 ， 0)$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点之间的距离为．

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14. A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有5%，4%，2%的人患了流感．假设这三个地区的人口比例为4∶3∶3．现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为．

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15. 已知函数 $f (x) = a x + x e^{x}$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递增，则a的取值范围是．

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16. 某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y， $\frac{1}{2}$ ，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为 $\frac{3}{8}$ ，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a l n x + x^{2} - 12 x (a \in R)$ ， $x = 2$ 是函数的一个极值点．

(1)、求a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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18. 为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支持，现统计了45株抗倒伏玉米，55株易倒伏玉米的茎高情况，设茎高大于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．完成以下问题．

(参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 其中 $n = a + b + c + d$ .)

$P (K^{2} \geq k)$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.001$
$k$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$10.828$

(1)、完成以下的2×2列联表：

茎高	倒伏		合计
茎高	抗倒伏	易倒伏	合计
矮茎	15
高茎			50
合计

(2)、根据（1）中的列联表，能否作出玉米倒伏与茎高有关的结论？

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19. “清明时节雨纷纷”说的是长江中下游地区在清明节前后常常是阴雨天气，若某地区清明节假期的3天中，每一天下雨的概率均为

\frac{3}{4}

，且每天是否下雨都是相互独立的．

参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、估计该地区这3天中恰好有1天下雨的概率；

(2)、2018年到2022年该地区清明节当天降雨量（单位：mm）如下表：

年份	2018	2019	2020	2021	2022
序号x	1	2	3	4	5
降雨量y	27	26	24	22	21

研究表明，从2018年到2022年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与序号x具有线性相关关系，求回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；若该地区2024年清明节有降雨的话，降雨量约为多少？

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20. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形， $A F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E F ∥ A B$ ， $A D = 2$ ， $A B = A F = 2 E F = 1$ ，点P为棱DF上一点（不含端点）．

(1)、当FP为何值时， $A P ⊥ P C$ ；

(2)、求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；

(3)、若P为DF中点，求点E到平面APC的距离．

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21. 为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同，参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的白球个数记为该轮得分 $X$ ，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与者完成第 $n$ 轮游戏，且其前 $n$ 轮的累计得分恰好为 $2 n$ 时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．

(1)、求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．

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22. 已知函数 $f (x) = (x + 2) l n x - e x$ ． ( $e = 2.71828 …$ 为自然对数的底数)
（参考数据： $l n 2 \approx 0.693$ ， $\frac{2}{e} \approx 0.736$ ）

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、证明：当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $f (x) + e > 0$ ．

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x	20	23	25	27	30
z	2	2.4	3	3	4.6