海南省2022-2023学年高二下学期学业水平诊断（二）数学试题

试卷更新日期：2023-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 7 x < 0}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 7}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 7}$ C、 ${x | x < 0$ 或 $x > 7}$ D、 ${x | x \leq 0$ 或 $x \geq 7}$

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2. 已知复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $(3 ， - 4)$ ，则 $\frac{z}{2 - i} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， x)$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、6 B、 $- 6$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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4. 已知函数 $f (x)$ 及其导数 $f^{'} (x)$ 满足 $f (x) = x^{3} + 2 x f^{'} (2)$ ，则 $f (x)$ 的图象在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线斜率为（）

A、4 B、 $- 4$ C、12 D、 $- 12$

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5. 在正项数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 3 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则 ${a_{n}}$ （）

A、为递减数列 B、为递增数列 C、先递减后递增 D、先递增后递减

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6. ${(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}$ 的展开式中 $x^{5}$ 的系数为（）

A、1 B、6 C、12 D、144

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7. 某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《咏柳》《送元二使安西》《黄鹤楼送孟浩然之广陵》《绝句》《江畔独步寻花》五首古诗，并要求《黄鹤楼送孟浩然之广陵》《绝句》默写次序相邻，则不同的默写次序有（）

A、36种 B、48种 C、72种 D、96种

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8. 若 $a = \frac{1}{9}$ ， $b = l n \frac{10}{9}$ ， $c = \frac{2}{19}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > b > c$

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二、多选题

9. 下列有关线性回归分析的说法正确的是（）

A、经验回归直线是经过散点图中样本点最多的一条直线 B、经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 一定经过点 $(\bar{x} ， \bar{y})$ C、残差图中所有散点的纵坐标之和为0 D、两个变量的负相关关系越强，回归模型的 $R^{2}$ 越接近于 $– 1$

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10. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - 6 x + 1$ 在 $x = \sqrt{2}$ 处取得极值，则（）

A、 $a = 1$ B、 $f (x)$ 在 $x = - \sqrt{2}$ 处取得极大值 C、 $f (x)$ 有3个不同的零点 D、 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的值域为 $[- 3 ， 1]$

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11. 某小学六年级有3个班，六（1）班、六（2）班、六（3）班的学生人数之比为3∶3∶4.在某次数学考试中，六（1）班的不及格率为10%，六（2）班的不及格率为20%，六（3）班的不及格率为15%，从该校随机抽取一名六年级学生.记事件 $A =$ “该学生本次数学考试不及格”，事件 $B_{i} =$ “该学生在六（ $i$ ）班”（ $i = 1$ ， 2，3），则（）

A、 $P (B_{i}) = 0.3$ B、 $P (A) = 0.15$ C、 $A$ 与 $B_{i}$ （ $i = 1$ ， 2，3）均不相互独立 D、 $\frac{P (B_{1} | A)}{P (B_{3} | A)} = \frac{1}{2}$

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12. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{t - 1} - \frac{y^{2}}{t} = 1$ 的一条渐近线方程为 $\sqrt{2} x - y = 0$ ，圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ 上任意一点 $P$ 处的切线 $l$ 交双曲线 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，则（）

A、 $t = 2$ B、满足 $| M N | = 2 \sqrt{2}$ 的直线 $l$ 仅有2条 C、满足 $O M ⊥ O N$ 的直线 $l$ 仅有4条 D、 $| P M | \cdot | P N |$ 为定值2

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三、填空题

13. 若 $c o s α = - \frac{3}{5}$ ，且 $α \in (π ， \frac{3 π}{2})$ ，则 $t a n α =$ ；

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14. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{7}}{S_{5}} = 2$ ，则 $\frac{a_{7}}{a_{5}} =$ .

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15. 某制药公司为了验证一种药物对治疗“抑郁症”是否有效，随机选取了100名抑郁症患者进行试验，并根据试验数据得到下列2×2列联表：

	用药	未用药
症状明显减轻	37	33
症状没有减轻	8	22

根据表中数据，计算可得 $χ^{2} =$ （结果精确到0.001），依据小概率值 $α =$ （填临界值表中符合条件的最小值）的独立性检验，可以认为该药物对治疗“抑郁症”是有效的.

附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

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16. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球 $O$ 的体积为 $\frac{256 π}{3}$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且底面 $A B C D$ 为矩形， $P A = 4$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 体积的最大值为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} + a_{n} = 5$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $1 ≤ S_{n} < \frac{5}{4}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b c o s C + c c o s B = 4 (a c o s B + b c o s A)$ ，且 $c o s C = \frac{3 \sqrt{7}}{8}$ ，角 $A$ 为锐角.

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 3 \sqrt{7} + \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是正三角形﹐点 $D$ 在棱 $P C$ 上，且 $B D ⊥ A C$ ，点 $E$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $D$ 为 $P C$ 的中点；

(2)、若 $P C = 2 A C = 4$ ，求二面角 $E - B D - C$ 的余弦值.

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20. 某智力问答节目中，选手要从 $A$ ， $B$ 两类题中各随机抽取2个进行作答. $A$ 类题一共有5个，每个题答对得5分，答错得0分， $B$ 类题数量非常多，每个题答对得3分，答错得0分.小明参与该节目，在 $A$ 类题中小明仅能答对其中的4个，每个 $B$ 类题小明能答对的概率都是 $\frac{2}{3}$ .且每个 $B$ 类题回答正确与否相互独立.

(1)、求小明恰好答对2个题的概率；

(2)、求小明答 $A$ 类题和答 $B$ 类题得分的期望之和.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ ，点 $A$ ， $B$ ， $D$ 分别是椭圆 $C$ 的左、右、上顶点， $F$ 是 $C$ 的左焦点，坐标原点 $O$ 到直线 $D F$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，求 $\vec{F P} \cdot \vec{F Q}$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n x - 1 (a \in R)$ ， $g (x) = f (x) + l n x - x + 1$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{e}$ 时，求 $f (x)$ 的极小值；

(2)、若 $g (x)$ 有2个零点，求 $a$ 的取值范围.

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