甘肃省定西市渭源县2022-2023学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{2}{1 + i} - 2 i =$ （）

A、 $2 - 4 i$ B、 $2 - 2 i$ C、1 D、 $1 - 3 i$

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2. $s i n 71 ° c o s 26 ° - c o s 71 ° s i n 26 °$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. “ $x > 1$ ”是“复数 $z = x^{2} - x + (x - 1) i (x \in R)$ 在复平面内对应的点在第一象限”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 在一次数学测试中，高一（5）班50名学生的平均分为83.78，其中女生有22人，女生的平均分比男生的平均分多1分，则男生的平均分为（）

A、82.34 B、83.34 C、83.36 D、84.36

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5. 在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率0.6，乙去参观市博物馆的概率为0.5，且甲乙两人各自行动，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（）

A、0.3 B、0.32 C、0.8 D、0.84

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6. 如图所示， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是水平放置的 $△ O A B$ 的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = A^{'} B^{'} = 2 \sqrt{2}$ ，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、8 C、 $4 \sqrt{2}$ D、4

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7. 一个正方体的六个面上分别有字母 $A ， B ， C ， D ， E ， F$ ，如下图所示是此正方体的两种不同放置，则与 $E$ 面相对的面上的字母是（）

A、 $A$ B、 $D$ C、 $D$ 或 $A$ D、 $D$ 或 $F$

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8. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形ABCDEF的边长为 $2 \sqrt{3}$ ，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是（）

A、 $[5 ， 8]$ B、 $[2 ， 3]$ C、 $[\frac{5}{2} ， 4]$ D、 $[\frac{3}{2} ， 3]$

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二、多选题

9. 复数z满足 $\frac{2 - i}{1 + 2 i} \cdot z - i = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、z的实部为1 B、z的虚部为2 C、 $\bar{z} = - 1 + 2 i$ D、 $| z | = \sqrt{5}$

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10. 给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则关于这组数据，下列说法正确的是（）

A、中位数为3 B、方差为 $\frac{6}{5}$ C、众数为2和3 D、第85%分位数为4.5

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11. 已知 $s i n (α - β) c o s α - c o s (α - β) s i n α = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s (β + \frac{π}{4})$ 的可能值为（）

A、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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12. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = 1$ ，点 $E$ 是 $P C$ 的中点，过 $A ， D ， E$ 三点的平面 $α$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $l ⊥ A D$ B、 $l ⊥$ 平面 $P C D$ C、三棱锥 $P - A D E$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ D、直线 $P B$ 与 $l$ 所成角的余弦值为 $\frac{2}{3}$

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三、填空题

13. 已知 $(x + y - 3) + (x - 2) i = 0 (x ， y \in R)$ ，则 $x - y =$ .

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14. 已知 $t a n θ = 2$ ，则 $s i n 2 θ + 3 c o s^{2} θ =$ ．

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15. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的向量，若 $\vec{m} = \vec{a} - k \vec{b}$ 与 $\vec{n} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 共线，则实数k的值为.

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16. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点均在同一个球面上，底面 $△ A B C$ 为等腰直角三角形且 $B A = B C = 4$ ，若该三棱锥体积的最大值为 $\frac{32}{3}$ ，则其外接球的表面积为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z = 2 - a i (a \in R)$ ，且 $(1 - 2 i) z$ 为纯虚数.

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、若 $ω = \frac{z}{3 + i}$ ，求复数 $ω$ 及其模 $| ω |$ .

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18. 已知α∈ $(\begin{array}{l} \frac{π}{2} ， π \end{array})$ ，且sin $\frac{α}{2}$ ＋cos $\frac{α}{2}$ ＝ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

(1)、求cos α的值；

(2)、若sin(α－β)＝－ $\frac{3}{5}$ ，β∈ $(\begin{array}{l} \frac{π}{2} ， π \end{array})$ ，求cos β的值．

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19. 如图，在五面体 $A B C D E$ 中， $E A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C D / / A E$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A E = A C = B C = 2 C D = 4$ ，点 $M$ 为 $B E$ 中点．

(1)、求证：平面 $B D E ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求直线 $E D$ 与平面 $A B E$ 所成角的余弦值．

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20. 在① $\frac{c}{a - b} = \frac{s i n A + s i n B}{s i n A - s i n C}$ ；② $\frac{2 \sqrt{3}}{3} a c s i n B = a^{2} + c^{2} - b^{2}$ ；③ $a s i n A + a s i n C c o s B + b s i n C c o s A = b s i n B + c s i n A$ ；这三个条件中任选一个（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）补充在下面问题中，并作答．
在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且____．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 满足 $\vec{C D} = 3 \vec{D A}$ ， $B D = 1$ ， $B C = 3 A B$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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21. 为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的1000名同学的初赛成绩（满分：100分）作统计，得到如图所示的频率分布直方图（有数据缺失）．请完成下面的问题：

(1)、求参赛同学初赛成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、若从这1000名参加初赛的同学中按分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，再在该样本中成绩低于70分的同学里任选2人继续学习，求抽到的2人成绩都在 $[60 ， 70)$ 间的概率.

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22. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是平行四边形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A B$ 是边长为4的等边三角形， $B C = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $M$ 是 $P C$ 上一点．

(1)、若 $M$ 是 $P C$ 的中点，证明： $P A / /$ 平面 $B D M$ ；

(2)、若平面 $M A B ⊥$ 平面 $P C D$ ，求 $\frac{P M}{P C}$ 的值．

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