安徽省安庆、池州、铜陵三市2022-2023学年高二下学期联合期末检测数学试题

试卷更新日期：2023-08-03 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 数列 $- 3 ， \frac{5}{4} ， - \frac{7}{9} ， \frac{9}{16} ， ⋯$ 的第11项是（）

A、 $- \frac{23}{121}$ B、 $\frac{23}{121}$ C、 $- \frac{21}{121}$ D、 $\frac{21}{121}$

查看试题解析
2. 下列运算正确的是（）

A、 $(2 + s i n x)^{'} = 2 + c o s x$ B、 ${(2^{x})}^{^{'}} = x \cdot 2^{x - 1}$ C、 $(l n 2 x)^{'} = \frac{1}{x}$ D、 $(\sqrt{1 - x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

查看试题解析
3. 已知变量 $x ， y$ 之间具有线性相关关系，根据15对样本数据求得经验回归方程为 $\hat{y} = 2 x - 1$ ，若 $\sum_{i = 1} y_{i} = 23$ ，则 $\sum_{i = 1} x_{i} =$ （）

A、12 B、19 C、31 D、46

查看试题解析
4. 随机变量 $ξ ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，若 $P (ξ < 0) = 0.3 ， P (0 < ξ < 6) = 0.4$ ，则 $P (3 < ξ < 6) =$ （）

A、0.5 B、0.4 C、0.3 D、0.2

查看试题解析
5. 如图，在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = A A_{1} = 2 ， A B = 4$ ，则 $A A_{1}$ 与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 所成角的大小为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $4 5^{∘}$ C、 $6 0^{∘}$ D、 $9 0^{∘}$

查看试题解析
6. 甲乙两个盒子里各装有4个大小形状都相同的小球，其中甲盒中有2个红球2个黑球，乙盒中有1个红球3个白球，从甲盒中取出2个小球放入乙盒，再从乙盒中随机地取出1个小球，则取出的小球是红球的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{11}{36}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{12}$

查看试题解析
7. 2023年第19届亚运会将在杭州举行，某大学5名大学生为志愿者，现有语言翻译、医疗卫生、物品分发三项工作可供安排，每项工作至少分配一名志愿者，这5名大学生每人安排一项工作．若学生甲和学生乙不安排同一项工作，则不同的安排方案有（）

A、162种 B、150种 C、120种 D、114种

查看试题解析
8. 已知 $a = 0.99 ， b = c o s^{2} 0.1 ， c = \frac{1}{2 - c o s 0.1}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、圆心为 $(1 ， 2)$ B、半径为2 C、圆 $C$ 与直线 $3 x + 4 y + 5 = 0$ 相离 D、圆 $C$ 被直线 $x = 0$ 所截弦长为 $2 \sqrt{3}$

查看试题解析
10. 关于 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{10}$ 的展开式，下列结论正确的是（）

A、二项式系数和为1028 B、所有项的系数之和为 $3^{10}$ C、第6项的二项式系数最大 D、 $\frac{1}{x^{2}}$ 项的系数为360

查看试题解析
11. 素描几何体是素描初学者学习绘画的必学课程，是复杂形体最基本的组成和表现方式，因此几何体是美术人门最重要的一步．素描几何体包括：柱体、椎体、球体以及它们的组合体和穿插体．十字穿插体，是由两个相同的长方体相互从中部贯穿而形成的几何体，也可以看作四个相同的几何体（记为 $Γ)$ 拼接而成，体现了数学的对称美．已知在如下图的十字穿插体中， $A B = B C = 2 ， C C_{1} = 4 \sqrt{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $E D_{1} ⊥$ 平面 $E M N$ B、 $P E$ 与 $B_{1} D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、平面 $E M N$ 截该十字穿插体的外接球的截面面积为 $9 π$ D、几何体 $Γ$ 的体积为 $\frac{20 \sqrt{2}}{3}$

查看试题解析
12. 形如 $f (x) = a x + \frac{b}{x} (a > 0 ， b > 0)$ 的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线．已知 $O$ 为坐标原点，下列关于函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 的说法正确的是（）

A、渐近线方程为 $x = 0$ 和 $y = x$ B、 $y = f (x)$ 的对称轴方程为 $y = (\sqrt{2} + 1) x$ 和 $y = (1 - \sqrt{2}) x$ C、 $M ， N$ 是函数 $f (x)$ 图象上两动点， $P$ 为 $M N$ 的中点，则直线 $M N ， O P$ 的斜率之积为定值 D、 $Q$ 是函数 $f (x)$ 图象上任意一点，过点 $Q$ 作切线，交渐近线于 $A ， B$ 两点，则 $△ O A B$ 的面积为定值

查看试题解析

三、填空题

13. 已知随机变量 $X$ 的分布列如表，则 $X$ 的均值 $E (X) =$ ．

$X$

－1

0

1

2

$P$

0.1

0.3

m

2m

查看试题解析
14. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的动直线 $l$ 与抛物线交于 $A ， B$ 两点，满足 $| A B | = 4$ 的直线 $l$ 有且仅有一条，则 $p =$ ．

查看试题解析
15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0 ， a_{2} = a_{3} = 2 ， a_{n} \neq - 1$ ，且 $a_{n} a_{n + 3} + a_{n} + a_{n + 3} = 1$ ，若 $b_{n} = [\frac{3}{2} a_{n}]$ （其中 $[\frac{3}{2} a_{n}]$ 表示不超过 $\frac{3}{2} a_{n}$ 的最大整数），则 $a_{5} =$ ；数列 ${b_{n}}$ 前2023项和 $S_{2023} =$ ．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + x + x l n x$ ，若 $f (x) \geq x^{2}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为．

查看试题解析

四、解答题

17. 在① $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ， ② $f (x) = \frac{{\vec{b}}^{2}}{{\vec{a}}^{2}}$ 这两个条件中选择一个，补充在下面的横线上，并解答问题．
已知向量 $\vec{a} = (s i n x + c o s x ， c o s x - s i n x) ， \vec{b} = (s i n x + c o s x ， s i n x + c o s x)$ ，且满足____．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $f (A) = 2 ， a = 3 \sqrt{5} ， b = 6 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

查看试题解析
18. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 2 ， 2 S_{n} = n a_{n + 1}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{1}{4}$ ．

查看试题解析
19. 如图1，已知正三棱锥 $P - A B C ， A B = 4 \sqrt{3} ， M ， N$ 分别为 $A B ， B C$ 的中点，将其展开得到如图2的平面展开图（点 $P$ 的展开点分别为 $P_{1} ， P_{2}$ ，点 $B$ 的展开点分别为 $B ， B_{1}$ ），其中 $△ P_{1} M N$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ．在三棱锥 $P - A B C$ 中，

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P M C$ ；

(2)、求平面 $P A C$ 与平面 $P M N$ 夹角的余弦值．

查看试题解析

20. 为了研究数学成绩是否与物理成绩有关联．某中学利用简单随机抽样获得了容量为100的样本，将所得数学和物理的考试成绩进行整理如下

2 \times 2

列联表：

数学成绩	物理成绩		合计
数学成绩	优秀	不优秀	合计
优秀	20	20
不优秀	10	50
合计

参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

参考数据：

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)、完成

2 \times 2

列联表，试根据小概率值

α = 0.001

的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联；

(2)、用样本频率估计概率，从该学校中随机抽取12个学生，问这12个学生中数学成绩优秀的人数最有可能是多少?

查看试题解析

21. 已知椭圆： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F$ ，椭圆上的点到 $F$ 的最大距离为3，最小距离为1．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设椭圆左右顶点为 $A ， B$ ，在 $x = 4$ 上有一动点 $P$ ，连接 $P A ， P B$ 分别和椭圆交于 $C ， D$ 两点， $△ P A B$ 与 $△ P C D$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ．是否存在点 $P$ ，使得 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{4}{3}$ ，若存在，求出 $P$ 点坐标；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + a x - 2$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、已知 $a \leq 8$ 时，讨论函数 $g (x) = f (x) - 2 a x + \frac{a}{2}$ 的零点个数．

查看试题解析

$X$	－1	0	1	2
$P$	0.1	0.3	m	2m