贵州省黔西南州2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

试卷更新日期：2023-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 \leq x < 4}$ ， $B = {x | 3 x - 7 \geq 8 - 2 x}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 2 \leq x \leq 3}$ B、 ${x | 3 \leq x \leq 4}$ C、 ${x | 3 \leq x < 4}$ D、 ${x | 2 \leq x < 3}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 2 + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $\sqrt{6}$ D、6

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3. 直线 $x + \sqrt{3} y - 5 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $12 0^{∘}$ B、 $15 0^{∘}$ C、 $6 0^{∘}$ D、 $3 0^{∘}$

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4. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} + a_{8} = 20$ ， $a_{7} = 12$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

A、2 B、6 C、8 D、12

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5. 为提高新农村的教育水平，兴义市某校决定选派5名优秀的教师到 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四所学校进行为期一年的支教活动，每人只能去一所学校，每所学校至少派一人，则不同的选派方案共有（）

A、60种 B、120种 C、240种 D、480种

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6. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 1)$ ， $\vec{c} = (1 ， k)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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7. 函数 $f (x) = x c o s x - \frac{1}{x}$ ， $x \in (- π ， 0) ∪ (0 ， π)$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 作斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与双曲线的左、右两支分别交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $| F_{2} N | = | F_{2} M |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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二、多选题

9. 若 $a > b$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a > b + 1$ C、 $a > b - 1$ D、 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$

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10. 为研究需要，统计了两个变量

x

，

y

的数据情况如下表：

$x$	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$⋯$	$x_{n}$
$y$	$y_{1}$	$y_{2}$	$y_{3}$	$⋯$	$y_{n}$

其中数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $⋯$ ， $x_{n}$ 和数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ， $⋯$ ， $y_{n}$ 的平均数分别为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ ，并且计算相关系数 $r = - 0.8$ ，经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，则下列结论正确的为（）

A、点

(\bar{x} ， \bar{y})

必在回归直线上，即

\bar{y} = \hat{b} \bar{x} + \hat{a}

B、变量

x

，

y

负线性相关 C、当

x = x_{1}

，则必有

\hat{y} = y_{1}

D、

\hat{b} < 0

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11. 已知 $a ， b ， c$ 是三条不同的直线， $α ， β ， γ$ 是三个不同的平面，下列命题正确的有（）

A、若 $a ⊥ b ， a ⊥ c$ ，则 $b / / c$ B、若 $a / / b ， a / / c$ ，则 $b / / c$ C、若 $α ⊥ β ， α ⊥ γ$ ，则 $β / / γ$ D、若 $α / / β ， α / / γ$ ，则 $β / / γ$

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12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (ω x + φ) - c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 且 $f (x)$ 图象的相邻两对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则以下说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 为偶函数，则 $φ = \frac{2 π}{3}$ B、若 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ ，则 $φ = \frac{π}{6}$ C、若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{6})$ 上单调递增，则 $φ$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$ D、若 $f (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 内有三个零点，则 $φ = \frac{π}{6}$

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三、填空题

13. 若 $c o s α = - \frac{4}{5}$ ，且 $α$ 为第三象限角，则 $s i n α =$ ；

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14. ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中含 $x^{- 1}$ 项的系数为．

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15. 一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的体积 $V = \frac{1}{3} π (3 R - H) H^{2}$ ，其中 $R$ 为球的半径， $H$ 为球缺的高．如图，若一个半径为 $R$ 的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为 $\frac{H_{1}}{H_{2}} = 2$ ，则体积之比 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ ．

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16. 若曲线 $y = x l n x$ 有两条过 $(1 ， a)$ 的切线，则 $a$ 的范围是．

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{9} = - 27 ， S_{10} = - 40$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 2^{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $c = a (c o s B + \sqrt{3} s i n B)$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，且 $a = 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 2022年9月23日，延期后的杭州亚运会迎来倒计时一周年，杭州亚组委发布宣传片《亚运+1》和主办城市推广曲《最美的风景》．杭州某大学从全校学生中随机抽取了1200名学生，对是否收看宣传片的情况进行了问卷调查，统计数据如下，

	收看	未收看
男生	600	200
女生	200	200

参考公式和数据： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)、根据以上数据说明，依据小概率值

α = 0.001

的独立性检验，能否认为学生是否收看宣传片与性别有关？

(2)、现从参与问卷调查且收看了宣传片的学生中，按性别采用分层抽样的方法选取8人，参加杭州2023年第19届亚运会志愿者宣传活动．若从这8人中随机选取2人到校广播站开展亚运会比赛项目宣传介绍．记

X

为人选的2人中女生的人数，求随机变量

X

的分布列及数学期望．

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20. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，且 $A B = A P = B C = 1$ ， $A D = 2$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若E为PC的中点，求 $P D$ 与平面 $A E D$ 所成角的正弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = (1 + \frac{1}{x}) l n x + \frac{a + 1}{x}$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[1 ， e]$ 上的最小值 $h (a) > 3 a + 3$ ，求 $a$ 的取值范围．

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22. 已知 $A$ ， $B$ 分别为椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右顶点，椭圆 $E$ 过点 $(\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、若 $P$ 为椭圆上异于 $A$ ， $B$ 的一点，且直线 $A P$ ， $B P$ 分别与直线 $l$ ： $x = 4$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，且直线 $B M$ 与椭圆 $E$ 交于另一点 $Q$ ，证明： $A$ ， $N$ ， $Q$ 三点共线．

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