广东省清远市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $e^{2} - 4$ B、 $e^{2} - 2$ C、 $e^{2} + e$ D、 $e^{2} + 2$

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2. 已知随机变量 $ξ \sim N (5 ， σ^{2})$ ，若 $P (3 \leq ξ \leq 7) = 0.4$ ，则 $P (ξ > 7) =$ （）

A、 $0.6$ B、 $0.4$ C、 $0.3$ D、 $0.2$

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3. 为提高学生的身体素质，某校开设了游泳和篮球课程，甲、乙、丙3位同学每人从中任选1门课程参加，则不同的选法共有（）

A、5种 B、6种 C、8种 D、9种

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4. 已知x和y之间的几组数据如下表：

x	$- 2$	$- 1$	0	1	2
y	5	4	2	2	1

根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为 $\hat{y} = - x + \hat{a}$ ，则预测当 $x = 5$ 时， $y =$ （）

A、

- 0.2

B、

- 0.8

C、

- 1.2

D、

- 2.2

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5. 袋子中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到黑球的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{10}$

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6. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{2} - 3 x$ 在 $(\frac{1}{2} ， 3)$ 上单调递增，则a的取值范围为（）

A、 $[\frac{4}{9} ， + \infty ）$ B、 $(0 ， \frac{4}{9}]$ C、 $[\frac{9}{8} ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{9}{8}]$

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7. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊.现有6支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是（）

A、180 B、320 C、345 D、360

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8. 已知直线 $y = k x + b$ 与函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + l n x$ 的图象相切，则 $k - b$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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二、多选题

9. 已知随机变量X的分布列为

X

0

1

2

P

          $\frac{1}{2}$

a

          $\frac{1}{4}$

则（  ）

A、a= $\frac{1}{4}$ B、a= $\frac{1}{2}$ C、E(X)= $\frac{3}{4}$ D、D(X)= $\frac{11}{16}$

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10. 已知 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，若函数 $y = f^{'} (x) - 1$ 的图象大致如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 有 $3$ 个极值点 B、 $x = - 4$ 是 $f (x)$ 的极大值点 C、 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， 4)$ 上单调递增

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11. 已知 $(1 - x)^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{9} x^{9}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{9} = 0$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} = - 256$ D、 $2 a_{1} + 2^{2} a_{2} + 2^{3} a_{3} + \cdot \cdot \cdot + 2^{9} a_{9} = - 2$

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12. 已知 $a = e^{\frac{1}{2}} - 1 ， b = l n \frac{3}{2} ， c = \frac{5}{12}$ ，则（）

A、 $a > b$ B、 $a > c$ C、 $c > b$ D、 $b > c$

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三、填空题

13. ${(\frac{1}{x^{2}} - 2 x)}^{6}$ 的展开式中的常数项为。

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14. 已知随机变量X~B(3， $\frac{2}{5}$ )，则D(X)=.

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15. 如图，在墙角处有一根长3米的直木棒AB紧贴墙面，墙面与底面垂直.在 $t = 0 s$ 时，木棒的端点B以0.5 m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动，端点A向下沿直线运动，则端点A在 $t = 2 s$ 这一时刻的瞬时速度为m/s.

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16. 某校举行了足球比赛，每个球队都和其他球队进行一场比赛，每场比赛获胜的球队得2分，失败的球队得0分，平局则双方球队各得1分，积分最高的球队获得冠军.已知有一个队得分最多(其他球队得分均低于该球队)，但该球队的胜场数比其他球队都要少，则参加比赛的球队数最少为.

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四、解答题

17. 为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查，得到下表：

体育锻炼	性别		合计
体育锻炼	男生	女生	合计
喜欢	280	p	280+p
不喜欢	q	120	120+q
合计	280+q	120+p	400+p+q

在本次调查中，男生人数占总人数的 $\frac{4}{7}$ ，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的 $\frac{3}{5}$ .

附：χ²= $\frac{n （ a d - b c ）^{2}}{（ a + b ）（ c + d ）（ a + c ）（ b + d ）}$ ， n=a+b+c+d.

α	0.05	0.025	0.010	0.001
xα	3.841	5.024	6.635	10.828

(1)、求p，q的值；

(2)、依据α=0.001的独立性检验，能否认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关?

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} a c o s C = c s i n A$ .

(1)、求C的大小；

(2)、若 $a > 2$ ，且 $b - c = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的最小值.

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19. 如图，将三棱锥 $A - B C D$ 的侧棱 $A B$ 放到平面 $α$ 内， $A C ⊥ C B$ ， $A B ⊥ B D$ ， $A C = C B$ ， $A B = B D$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B D$ .

(1)、证明：平面 $A C D$ ⊥平面 $B C D$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ，平面 $A B D$ 与平面 $α$ 夹角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，求平面 $A C D$ 与平面 $α$ 夹角的余弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2^{n} - 1$ ，集合 $A = {k | S_{m} = l o g_{2} a_{k} ， m \in N * ， k \in N *}$ .

(1)、求集合A；

(2)、若 $b_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， n \in A ， \\ l o g_{2} a_{n} ， n \notin A ， \end{array}$ 求数列 ${b_{n}}$ 的前30项和.

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21. 已知 $A (- 2 ， 0)$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点，过点 $D (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点（异于点 $A$ ），当直线 $l$ 的斜率不存在时， $| P Q | = 3$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、求 $△ A P Q$ 面积的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x + m} + (m + 1) x - x l n x$ .

(1)、若 $m = 0$ ，求 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2} < 1$ .

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X	0	1	2
P	$\frac{1}{2}$	a	$\frac{1}{4}$