广东省清远市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知i为虚数单位，则 $(2 + 3 i) (3 + 2 i) =$ （）

A、13i B、 $- 13 i$ C、12+13i D、 $12 - 13 i$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 1) ， \vec{b} = (4 ， - 3) ，$ 若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数m=（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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3. 某高中共有学生2400人，其中高一、高二、高三的学生人数比为5∶4∶6，现用分层随机抽样的方法从该高中所有学生中抽取一个容量为120的样本，则应从高三年级抽取的人数为（）

A、32 B、40 C、48 D、56

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4. 一个内壁底面半径为2的圆柱体玻璃杯中盛有体积为V的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱体玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则V=（）

A、 $\frac{20 π}{3}$ B、6π C、 $\frac{16 π}{3}$ D、8π

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5. 已知 $c o s θ + c o s (θ - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s (θ - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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6. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA=4，E为侧棱PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 在△ABC中，D为BC的中点，3sin∠ADB=2sin∠ACB，BC=6，AB=4 $\sqrt{2}$ ，则△ABC的面积为（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、3 $\sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、4 $\sqrt{2}$

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8. 瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线.已知M，N，O，P为 $△ A B C$ 所在平面上的点，满足 $| \vec{M A} | = | \vec{M B} | = | \vec{M C} |$ ， $\vec{N A} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ， $a \vec{P A} + b \vec{P B} + c \vec{P C} = \vec{0}$ (a，b，c分别为 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边)，则欧拉线一定过（）

A、M，N，P B、M，N，O C、M，O，P D、N，O，P

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二、多选题

9. 已知一组数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 的平均数为 $a$ ，中位数为 $b$ ，方差为 $c$ ，众数为 $d$ ，数据 $- 2 x_{1} + 1 ， - 2 x_{2} + 1 ， ⋯ ， - 2 x_{n} + 1$ 的平均数为 $a_{1}$ ，中位数为 $b_{1}$ ，方差为 $c_{1}$ ，众数为 $d_{1}$ ，则（）

A、 $a_{1} = - 2 a + 1$ B、 $b_{1}$ 无法确定 C、 $c_{1} = - 2 c + 1$ D、 $d_{1} = - 2 d + 1$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n x c o s x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为2π B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{3 π}{4} ， \frac{5 π}{4}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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11. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = B A = \sqrt{2}$ ， $A C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，点 $E$ 在棱 $A A_{1}$ 上， $A E = 1$ ， $D$ 是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则（）

A、三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面积为 $3 \sqrt{2} + 3$ B、三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的表面积为 $13 π$ C、 $B_{1} C_{1}$ ∥平面 $B C D$ D、 $C E ⊥$ 平面 $B_{1} D E$

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12. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $b = 1 ， a^{2} - b^{2} = c$ ，则（）

A、 $A = 2 B$ B、 $B = 2 A$ C、a的取值范围是 $(1 ， \sqrt{3})$ D、a的取值范围是 $(\sqrt{2} ， \sqrt{3})$

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三、填空题

13. 已知 $s i n α = - 2 c o s α$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ .

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14. 互不相等的4个正整数从小到大排序为a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄ ，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为.

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15. 已知两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ，它们的夹角为θ，定义 $\vec{a} \times \vec{b}$ 为向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的向量积， $\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个向量，它的模 $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | s i n θ$ .若 $\vec{a} · \vec{b} = k | \vec{a} \times \vec{b} |$ ，则
当 $k = \sqrt{3}$ 时，θ=；

若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 为单位向量，当 $k = \frac{\sqrt{15}}{15}$ 时， $\vec{a}$ 在 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影向量(与 $\vec{a} + \vec{b}$ 同向的单位向量为 $\vec{e}$ )为.

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16. 在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，AA₁三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB₁的中点，若AB=1，则该水平面截正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁所得截面的面积为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z$ 的虚部为 $- 2$ ， $z$ 在复平面上对应的点在第三象限，且满足 $| z | = \sqrt{5}$ .

(1)、求 $z$ .

(2)、已知 $m \in R ， \frac{{| \bar{z} |}^{2}}{\bar{z}} + m$ 为纯虚数，求 $m$ 的值.

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18. 在△ABC中， $\vec{B C}$ =3 $\vec{B D} ， \vec{A E}$ = $\vec{E C} ， \vec{A F}$ =3 $\vec{F D}$ .

(1)、用向量 $\vec{A B} ， \vec{A C}$ 表示 $\vec{B E} ， \vec{B F}$ ，并判断B，E，F三点是否共线；

(2)、若| $\vec{A B}$ + $\vec{A C}$ |=| $\vec{A B}$ $- \vec{A C}$ |= $\sqrt{2} ， \vec{A D}$ · $\vec{B C}$ = $- \frac{1}{3}$ ，求△ABC的面积.

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19. 某市对该市全体高中学生举行了一次关于环境保护相关知识的测试，统计人员从A校随机抽取了300名学生，从B校随机抽取了400名学生，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[50，100]内，并将收集到的数据按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，绘制成频率分布直方图，如图所示.

(1)、估计A校这300名学生成绩的75%分位数；

(2)、根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A校抽取的300名学生成绩的平均值为μ₁ ， B校抽取的400名学生成绩的平均值为μ₂ ，以及A，B两校抽取的700名学生成绩的平均值为μ₀ ，试比较μ₀和 $\frac{μ_{1} + μ_{2}}{2}$ 的大小.

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20. 函数 $f (x) = M s i n (ω x + φ) (M > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.已 $A (- \frac{1}{6} ， 0)$ ， $B (\frac{1}{3} ， M)$ ， $C (x_{0} ， - M)$ ， $A B ⊥ A C$ .

(1)、求 $x_{0}$ 和 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{1}{3}$ 个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{1}{2}]$ 上的值域.

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21. 已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，满足
$a b s i n B + a c s i n C - a^{2} s i n A = b c s i n A$ .

(1)、求A；

(2)、若4a+ $\sqrt{7}$ b=2 $\sqrt{7}$ c，求sin C．

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22. 如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 4$ ， $A A_{1} = \sqrt{13}$ .

(1)、证明： $A A_{1} ⊥ B C$ .

(2)、过 $B_{1} C_{1}$ 的平面α交 $A B ， A C$ 分别于 $E ， F$ ，若 $A A_{1} / /$ 平面 $α$ ，求直线 $B B_{1}$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值.

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