吉林省白山市六盟校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题

试卷更新日期：2023-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若随机变量 $X$ 满足 $D (X) = 0.8$ ，则 $D (2 X - 3) =$ （）

A、0.8 B、1.6 C、3.2 D、0.2

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2. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x - f^{'} (0) x$ ，则 $f^{'} (0) =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、0 D、2

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3. 根据分类变量 $x$ 与 $y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 7.505$ ，依据 $α = 0.01$ 的独立性检验 $(x_{0.01} = 6.635)$ ，结论为（）

A、变量 $x$ 与 $y$ 不独立 B、变量 $x$ 与 $y$ 不独立，这个结论犯错误的概率超过0.01 C、变量 $x$ 与 $y$ 独立 D、变量 $x$ 与 $y$ 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

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4. 若 $C_{n + 1}^{n - 1} = 28$ ，则 $n =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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5. ${(6 x + \frac{1}{3 \sqrt{x}})}^{9}$ 的展开式中按 $x$ 的升幂排列的第4项为（）

A、 $\frac{244}{27} x$ B、 $\frac{224}{9}$ C、 $\frac{112}{9} x^{2}$ D、 $\frac{224}{27}$

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6. 已知点 $A$ 在函数 $f (x) = e^{x} - 2 x$ 的图象上，点 $B$ 在直线 $l ： x + y + 3 = 0$ 上，则 $A$ ， $B$ 两点之间距离的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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7. 某种产品的加工需要经过6道工序，如果其中某2道工序必须相邻，另外有2道工序不能相邻，那么加工顺序的种数为（）

A、72 B、144 C、288 D、156

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8. 预制菜指以各类农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等辅料经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场规模快速增长，某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程

\hat{y} = e^{\frac{x}{5} - a}

．

x	1	2	3	4
y	$e^{3}$	$e^{4}$	$e^{5}$	$e^{6}$

按照这样的速度，预估第6个月的预制菜市场规模是（）

A、

e^{8}

万元 B、

e^{7}

万元 C、

e^{\frac{24}{5}}

万元 D、

e^{\frac{26}{5}}

万元

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二、多选题

9. 已知解释变量x与响应变量y在散点图中对应的所有散点都落在一条斜率为非0的直线上，其相关系数为r，决定系数为R² ，则（）

A、 $r = 0$ B、 $R^{2} = 1$ C、 $| r | = 1$ D、 $R^{2} = 0$

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10. 已知两个随机变量 $X ， Y$ 满足 $Y = 5 X - 2$ ，若 $X ∼ B (10 ， \frac{3}{5})$ ，则（）

A、 $E (X) = 6$ B、 $D (X) = \frac{12}{5}$ C、 $E (Y) = 30$ D、 $D (Y) = 60$

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11. 从10名男生和8名女生中选出3人去参加创新大赛，则至少有1名女生的选法有（）

A、 $C_{18}^{3} - C_{10}^{3}$ 种 B、 $C_{8}^{1} C_{17}^{2}$ 种 C、 $C_{8}^{1} C_{10}^{2} + C_{8}^{2} C_{10}^{1} + C_{8}^{3}$ 种 D、 $C_{10}^{2} C_{8}^{1} + C_{10}^{1} C_{8}^{2}$ 种

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12. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $e^{a} = \frac{1}{2} b^{2} + l n (b + e)$ ，则下列等式可能成立的有（）

A、 $a = b$ B、 $a = b + 1$ C、 $b = a + 1$ D、 $b = a + 2$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x - e^{x}$ ，则 $f (x)$ 的最大值为；曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为．

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14. 已知随机变量 $ξ ~ N (5 ， σ^{2})$ ，若 $P (3 \leq ξ \leq 7) = 0.4$ ，则 $P (ξ > 7) =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + \frac{8}{x}$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上不单调，则整数a的一个取值可能是．

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16. 流行性感冒，简称流感，是流感病毒引起的一种急性呼吸道疾病．已知 $A ， B ， C$ 三个地区分别有 $2 % ， 6.5 % ， 8.5 %$ 的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是 $4 ： 7 ： 9$ ，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 a l n x + (a - 4) x + \frac{5}{2}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[1 ， 3]$ 上单调递减，求a的取值范围．

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18. 2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月20日在卡塔尔正式开赛，该比赛吸引了全世界亿万球迷观看.为了了解喜爱观看世界杯是否与性别有关，某体育台随机抽取200名观众进行统计，得到如下2×2列联表.

男
女
合计
喜爱看世界杯
60
20
80
不喜爱看世界杯
40
80
120
合计
100
100
200
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、试根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为喜爱观看世界杯与性别有关联?

(2)、在喜爱观看世界杯的观众中，按性别用分层抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取 $2$ 人参加某电视台的访谈节目，设参加访谈节目的女性观众与男性观众的人数之差为 $X$ ，求 $X$ 的分布列.

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19. 已知 ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式中所有二项式系数之和为64．

(1)、求 ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式中的所有有理项；

(2)、求 ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n} {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + x$ 的一个极值点为1.

(1)、求 $a$ ；

(2)、若过原点作直线与曲线 $y = f (x)$ 相切，求切线方程.

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21. 猜歌名游戏根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，节目组准备了 $A ， B$ 两组歌曲的主旋律制成的铃声，随机从 $A ， B$ 两组歌曲中各播放两首歌曲的主旋律制成的铃声，该嘉宾根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.已知该嘉宾猜对 $A$ 组中每首歌曲的歌名的概率均是 $\frac{2}{3}$ ，猜对 $B$ 组中每首歌曲的歌名的概率均是 $\frac{1}{2}$ ，且猜对每首歌曲的歌名相互独立.

(1)、求该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率；

(2)、若嘉宾猜对一首 $A$ 组歌曲的歌名得1分，猜对一首 $B$ 组歌曲的歌名得2分，猜错均得0分，记该嘉宾累计得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.

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22. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{e^{x}} (a \in R)$ .（参考数据： $l n 2 \approx 0.7$ .）

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 与函数 $g (x) = a e^{x}$ 的图象有三个不同的交点，求 $a$ 的取值范围.

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	男	女	合计
喜爱看世界杯	60	20	80
不喜爱看世界杯	40	80	120
合计	100	100	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828