黑龙江省哈尔滨市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} + a_{6} = 6$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 在 ${(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 的项的系数是（）

A、-488 B、60 C、480 D、45

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3. 已知圆 $C ： (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ ，则直线 $3 x + 4 y - 1 = 0$ 被圆截得的弦的长度为（）

A、2 B、7 C、 $\sqrt{21}$ D、 $2 \sqrt{21}$

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4. 已知平面 $α ､ β$ ，直线 $m ､ n ､ l$ ，则下列命题正确的个数是（）
①若 $m ∥ α ， m \subset β ， α ∩ β = l$ ，则 $m ∥ l$
②若 $m ∥ α ， m ∥ β$ ，则 $α ∥ β$
③若 $α ⊥ β ， m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$
④若 $m ⊥ n ， m ⊥ α ， n ⊄ α$ ，则 $n ∥ α$

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为2，若存在两项 $a_{m} ､ a_{n}$ 使得 $\sqrt{a_{m} a_{n}} = 8 a_{1}$ ，则 $m + n =$ （）

A、3 B、4 C、8 D、16

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6. 今年“五一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，现增派6名警力去A､B两个景区执勤.要求A景区至少增派3名警力，B景区至少增派2名警力，则不同的分配方法的种数为（）

A、35 B、60 C、70 D、120

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7. 牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义 $x_{k} (k \in N)$ 是函数 $f (x)$ 零点近似解的初始值，在点 $P_{k} (x_{k} ， f (x_{k}))$ 处的切线方程为 $y = f^{'} (x_{k}) (x - x_{k}) + f (x_{k})$ ，切线与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{k + 1}$ ，即为函数 $f (x)$ 零点近似解的下一个初始值.以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解.设函数 $f (x) = x^{3} + x - 1$ ，满足 $x_{0} = 0$ ，应用上述方法，则 $x_{2} =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{11}{64}$ D、 $\frac{59}{86}$

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8. 现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差 $X$ 通常被认为服从正态分布.若某物理量做 $n$ 次测量，最后结果的误差 $X_{n} ∼ N (0 ， \frac{2}{n})$ ，要控制 $| X_{n} | \geq \frac{1}{4}$ 的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为（）[参考数据： $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ ]

A、141 B、128 C、288 D、512

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列叙述正确的是（）

A、若 $a_{n} = 2 n - 1$ ，则 $S_{n} = n^{2}$ B、若 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ ，则 $S_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ C、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，则数列 ${2^{a_{n}}}$ 是等比数列 D、若 $S_{n} = n^{2} + 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是等差数列

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10. 伟大的古希腊哲学家､百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的 $π$ 倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆 $C$ 的面积为 $12 \sqrt{5} π$ ，离心率为 $\frac{2}{3} ， F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点， $A$ 为椭圆 $C$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的标准方程可以为 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ B、若 $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $S_{△ F_{1} A F_{2}} = 20 \sqrt{3}$ C、存在点 $A$ ，使得 $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{π}{2}$ D、 $\frac{2}{| A F_{1} |} + \frac{1}{| A F_{2} |}$ 的最小值为 $\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{6}$

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11. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，哈尔滨市某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则下列说法不正确的是（    ）
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$
      $χ^{2}$ 独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值：

          $α$
.0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
          $x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

A、参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多 B、从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为 $\frac{4}{7}$ C、依据 $α = 0.1$ 的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1 D、若经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，则无论参与调查的男生､女生人数为多少，依据 $α = 0.1$ 的独立性检验，都可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性无关

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12. 定义：在区间 $I$ 上，若函数 $y = f (x)$ 是减函数，且 $y = x f (x)$ 是增函数，则称 $y = f (x)$ 在区间 $I$ 上是“弱减函数”.根据定义可得（）

A、 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ 在 $(1 ， 2)$ 上是“弱减函数” B、若 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ 在 $(m ， + \infty)$ 上是“弱减函数”，则 $m > e$ C、 $f (x) = \frac{s i n x}{x}$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是“弱减函数” D、若 $f (x) = c o s x + k x^{2}$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是“弱减函数”，则 $\frac{2}{3 π} \leq k \leq \frac{1}{π}$

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三、填空题

13. 在直角 $△ A B C$ 中， $A C = B C = \sqrt{2}$ ，将 $△ A B C$ 绕斜边 $A B$ 旋转一周形成的几何体的体积是.

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14. 抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上的点 $A (x_{0} ， 2 \sqrt{2})$ 到焦点的距离为.

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15. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限 $x$ （单位：年）与维护费用 $y$ （单位：千元）之间可以用模型 $y = c_{1} e^{c_{2} x} (c_{1} > 0)$ 去拟合，收集了4组数据，设 $z = l n y ， x$ 与 $z$ 的数据如表格所示：
          $x$
4
6
8
10
          $z$
2
3
5
6
利用最小二乘法得到 $x$ 与 $z$ 的线性回归方程 $\hat{z} = 0.6 x + \hat{a}$ ，则 $c_{1} \cdot c_{2} =$ .

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16. 函数 $f (x) = e^{x} - a x - \frac{1}{3}$ ，对于 $\forall x \in (0 ， + ∞) ， f (x) \geq \frac{1}{6} x^{3} - x$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 某中学高二年级参加市数学联考，其中甲､乙两个班级优秀率分别为 $30 %$ 和 $40 %$ ，现在先从甲､乙两个班中选取一个班级，然后从选取的班级中再选出一名同学.选取甲､乙两个班级的规则如下：纸箱中有大小和质地完全相同的 $4$ 个白球､ $2$ 个黑球，从中摸出1个球，摸到白球就选甲班，摸到黑球就选乙班.

(1)、分别求出选取甲班､乙班的概率；

(2)、求选出的这名同学数学成绩优秀的概率.

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18. 如图所示，在直角梯形 $A B C D$ 中， $B C ∥ A D ， A D ⊥ C D ， B C = 2$ ， $A D = 3 ， C D = \sqrt{3}$ ，边 $A D$ 上一点 $E$ 满足 $D E = 1$ .现将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起到 $△ A_{1} B E$ 的位置，使平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，如图所示.

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ B E$ ；

(2)、求 $A_{1} E$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角的余弦值.

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19. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ .四个点 $P_{1} (3 ， 1) ， P_{2} (2 ， 3) ， P_{3} (- 2 ， - 3) ， P_{4} (\frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{15}}{2})$ 中恰有三点在双曲线 $C$ 上.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x + m$ 与双曲线 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，且 $O M ⊥ O N$ ，求原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离.

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20. 某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为 $[394 ， 396] ， (396 ， 398] ， ⋯ ， (404 ， 406]$ .由此得到样本的频率分布直方图如图：

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、从该流水线上任取2袋食盐，设 $X$ 为质量超过 $402 g$ 的食盐数量，求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望；

(3)、在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设 $Y$ 为质量超过 $402 g$ 的食盐数量，求随机变量 $Y$ 的分布列.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = \frac{2}{9}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{3 a_{n} + 1} ， n \in N^{*}$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n}} - 3}$ 是等比数列；

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} < 99$ ，求满足条件的最大的正整数 $n$ .

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + 2 (a - 1) e^{x} - 2 x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 和 $g (x) = a e^{x} - x$ 有两个不同交点，求 $a$ 的取值范围.

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$α$	.0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

$x$	4	6	8	10
$z$	2	3	5	6