2023-2024学年北师大版数学八年级上册2.7二次根式（提升卷）

试卷更新日期：2023-08-03 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = 2$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{6} = 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 3$

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2. 若 $\sqrt{{(x - 3)}^{2}} = x - 3$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 3$ B、 $x ≥ 3$ C、 $x < 3$ D、 $x \leq 3$

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3. 下列计算错误的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = 3$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{2}$

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4. 下列 $x$ 的取值中，能使二次根式 $\sqrt{x - 4}$ 在实数范围内有意义的是（）

A、6 B、3 C、1 D、-2

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5. 下列各式运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{(- 4) \cdot (- 9)} = \sqrt{- 4} \cdot \sqrt{- 9} = (- 2) \cdot (- 3) = 6$ C、 $（ 2 \sqrt{10} - \sqrt{5} ） \div \sqrt{5} = 2 \sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{5^{2}} - \sqrt{4^{2}} = 1$

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6. $\sqrt{m - n}$ 的一个有理化因式是（）

A、 $\sqrt{m + n}$ B、 $\sqrt{m - n}$ C、 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ D、 $\sqrt{m} - \sqrt{n}$

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7. 在式子 $\sqrt{4}$ ， $\sqrt{0.5}$ ， $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ ， $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 中，最简二次根式的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 已知 $a = \sqrt{2023 \times 2021}$ ， $b = \sqrt{202 0^{2} + 4 \times 2021}$ ， $c = 2021 \times 2020 - 2019 \times 2021$ ，则 $(a - b) (b - c)$ 的值（）

A、大于零 B、小于零 C、等于零 D、无法确定

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9. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{6} = \sqrt{8}$ B、 $6 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = 4$ C、 $4 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{3} = 6 \sqrt{6}$ D、 $\frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$

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10. 当 $a < 0$ 时，化简 $a \sqrt{- 2 a} \cdot \sqrt{- 8 a}$ 的结果是（）

A、 $- 4 a$ B、 $4 a$ C、 $- 4 a^{2}$ D、 $4 a^{2}$

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二、填空题

11. 计算 $\sqrt{6} \div \sqrt{2}$ 的结果是 .

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12. 已知x，y都是实数，且 $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 4$ ，则y=.

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13. 若两个代数式 $M$ 与 $N$ 满足 $M \cdot N = - 1$ ，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则 $\sqrt{3} - \sqrt{5}$ 的“互为友好因式”是．

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14. 若长方形的周长是 $(30 + 16 \sqrt{5}) c m$ ，一边长是 $(\sqrt{5} - 2) c m$ ，则它的面积是 $c m^{2}$ ．

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15. 已知 $1 \leq a \leq 2$ ，化简 $\sqrt{a^{2} - 2 a + 1} + | a - 2 |$ = ．

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三、解答题

16. 化简并求值：已知 $x = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ，求 $x^{2} - 2 x + 3$ 的值．

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17. 已知x，y为实数，且 $y = \sqrt{x - 27} - 2 \sqrt{27 - x} + \frac{1}{3}$ ，求 $x y$ 的平方根。

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18. 【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如： $5 + 2 \sqrt{6} = (2 + 3) + 2 \sqrt{2 \times 3} = {(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} + 2 \sqrt{2} \times \sqrt{3} = (\sqrt{2} + \sqrt{3})$ $8 + 2 \sqrt{7} = (1 + 7) + 2 \sqrt{1 \times 7} = 1^{2} + {(\sqrt{7})}^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{7} = {(1 + \sqrt{7})}^{2}$

(1)、【类比归纳】
请你仿照小明的方法将 $7 + 2 \sqrt{10}$ 化成另一个式子的平方．

(2)、【变式探究】
若 $a + 2 \sqrt{21} = {(\sqrt{m} + \sqrt{n})}^{2}$ 且a，m，n均为正整数，求a值.

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19. 已知 $x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ， $y = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ．

(1)、求 $x^{2} - 3 x y + y^{2}$ 的值．

(2)、若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．

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20. [阅读材料]
我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用秦九韶公式可以更简便地求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地求出答案，即三角形的三边长分别为a、b、c，则其面积S＝ $\sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - (\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})^{2}]}$ （秦九韶公式），此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a、b、c，记p＝ $\frac{a + b + c}{2}$ ，则其面积S＝ $\sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ （海伦公式），虽然这两个公式形式上有所不同，但它们本质是等价的，计算各有优劣，它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．
[解决问题]

(1)、当三角形的三边a＝7，b＝8，c＝9时，请你从上面两个公式里，选择合适的公式计算出三角形的面积．

(2)、当三角形的三边a＝ $\sqrt{7}$ ， b＝2 $\sqrt{2}$ ， c＝3时，请你从上面两个公式里，选择合适的公式计算出三角形的面积．

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