2023-2024学年初中数学八年级上册 17.3 勾股定理同步分层训练培优卷(冀教版)

试卷更新日期：2023-08-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段 $A B$ 的两个端点都在正方形网格的格点上，则 $A B$ 的长度可能是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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2. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，分别以点 $A$ 和点 $C$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ 和点 $N$ ，作直线 $M N$ ，分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $E$ 和点 $F$ ．若 $B C = 3$ ， $A B = 9$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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3. 如图，数轴上点 $A$ 对应的数是0，点 $B$ 对应的数是1， $B C ⊥ A B$ ，垂足为 $B$ ，且 $B C = 1$ ，以 $A$ 为圆心， $A C$ 的长为半径画弧，交数轴正半轴于点 $D$ ，则点 $D$ 表示的数为（）

A、2.2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 如图，小明用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形，则长方形的对角线长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、4

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5. 将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形 $A B C D$ 和正方形 $E F G H$ ．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且 $A^{'} E = M E$ ， $B^{'} F = N F$ ， $C^{'} G = P G$ ， $D^{'} H = H Q$ ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即 $△ A^{'} E F$ ， $△ B^{'} F G$ ， $△ C^{'} G H$ ， $△ D^{'} H E$ ．若 $F M$ 平分 $∠ B F E$ ，正方形 $A B C D$ 和正方形 $E F G H$ 的边长比为 $1 ： 5$ ，若“新型数学风车”的四个叶片面积和是 $m$ ，则正方形EFGH的面积是（）

A、 $\frac{7}{6} m$ B、 $\frac{5}{3} m$ C、 $3 m$ D、 $\frac{9}{5} m$

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6. 如图，一棵大树在一次强台风中在距地面 $5 m$ 处折断，倒下后树顶端着地点 $A$ 距树底端 $B$ 的距离为 $12 m$ ，则这棵大树在折断前的高度为（）

A、 $10 m$ B、 $17 m$ C、 $18 m$ D、 $20 m$

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7. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $B C ， C D$ 上， $A E = A F$ ， $A C$ 与 $E F$ 相交于点 $G$ ．下列结论：① $A C$ 垂直平分 $E F$ ；②当 $∠ D A F = 15 °$ 时， $Δ A E F$ 为等边三角形；③当 $∠ E A F = 45 °$ 时， $∠ A E B = ∠ A E F$ ；④当 $C E = (2 - \sqrt{2}) B C$ 时， $B E + D F = E F$ ．其中正确的结论有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图，已知等腰直角 $△ A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，点C是矩形 $E C G F$ 与 $△ A B C$ 的公共顶点，且 $C E = 1$ ， $C G = 3$ ；点D是 $C B$ 延长线上一点，且 $C D = 2$ ．连接 $B G$ ， $D F$ ，在矩形 $E C G F$ 绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段 $B G$ 达到最长和最短时，线段 $D F$ 对应的长度分别为m和n，则 $\frac{m}{n}$ 的值为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{13}$

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二、填空题

9. 如图，立在地上的旗杆 $A B$ ，有一根绳子从杆顶 A 垂下，绳碰到地面后还余 4米，把绳的着地端沿地面移动到离旗杆底部 B点 10米处的一点C，恰好把绳子拉直，则旗杆AB的高度为米.

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10. 如图，点 $P$ 是 $∠ A O B$ 的角平分线上的一点，过点 $P$ 作 $P C / / O A$ 交 $O B$ 于点C， $P D ⊥ O A$ ，若 $∠ A O B = 60 °$ ， $O C = 6$ ，则 $P D =$ ．

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11. 把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的实数是．

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12. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 ° ， A B = 5 ， A D = 4 ， A D < B C$ ，点E在线段 $B C$ 上运动，点F在线段 $A E$ 上， $∠ A D F = ∠ B A E$ ，则线段 $B F$ 的最小值为．

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13. 气动升降桌由于高度可调节，给人们学习生活带来许多便捷．如图1所示是桌子的侧平面示意图，AC，BC，DC，DE，HG是固定钢架，HG垂直桌面MN，GE是位置可变的定长钢架．DF是两端固定的伸缩杆，其中，DE＝20cm，GE＝39cm，GF＝13cm，∠EDC是一个固定角为150°，当GE旋转至水平位置时，伸缩杆最短，此时伸缩杆DF的长度为 cm．点D的离地高度为60cm，HG＝10cm，小南将桌子调整到他觉得最舒服的高度，此时发现FD＝FE，则桌面高度为 cm．

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三、解答题

14. 直角三角形的三边的长分别为a，b，c，其中c为斜边长，若 $\frac{a + b + c}{a + c} = \frac{4}{3}$ ，直角三角形的面积为 $\frac{3}{2}$ ，求它的各边长．

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15. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为正数，满足如下两个条件：
$a + b + c = 32$ ①
$\frac{b + c - a}{b c} + \frac{c + a - b}{c a} + \frac{a + b - c}{a b} = \frac{1}{4}$ ②
证明：以 $\sqrt{a}$ ， $\sqrt{b}$ ， $\sqrt{c}$ 为三边长可构成一个直角三角形.

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四、综合题

16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 \sqrt{2}$ ， D是边 $A C$ 上一点， $A D = B D = 3$ ，在 $B D$ 上截取 $D F = D C$ ，连接 $A F$ 并延长交 $B C$ 于点E．

(1)、请判断 $△ A B D$ 的形状，并说明理由；

(2)、求证： $△ A D F ≌ △ B D C$ ；

(3)、若 $B E = C E$ ，请求出 $A C$ 的长．

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17.

(1)、【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图 $①$ ， $△ A B C$ 中，若 $A B = 8$ ， $A C = 6$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 $A D$ 至点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ．
请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到 $△ A D C$ ≌ $△ E D B$ ，依据是．
A. $S A S$ ； $B . S S S$ ； $C . A A S$ ； $D . H L$
由“三角形的三边关系”可求得 $A D$ 的取值范围是．

(2)、【初步运用】
如图 $②$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $B E$ 交 $A C$ 于 $E$ ，交 $A D$ 于 $F$ ，且 $A E = E F .$ 若 $E F = 4$ ， $E C = 3$ ，求线段 $B F$ 的长．

(3)、【灵活运用】
如图 $③$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 中点， $D E ⊥ D F$ ， $D E$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $D F$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $E F .$ 试猜想线段 $B E . C F . E F$ 三者之间的数量关系，并证明你的结论．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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