2023-2024学年初中数学八年级上册 17.2 直角三角形同步分层训练培优卷(冀教版)

试卷更新日期：2023-08-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， B C = 6 ， A F ⊥ B C$ 于 $F ， B E ⊥ A C$ 于 $E$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点， $△ D E F$ 的周长是10，则 $S_{△ A B C}$ 是（）

A、 $6 \sqrt{5}$ B、 $6 \sqrt{10}$ C、 $7 \sqrt{6}$ D、18

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A B = 10$ ，点 $D$ 为斜边 $A B$ 上的中点，则 $C D$ 为（）

A、10 B、3 C、5 D、4

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3. 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：

已知：如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

求作： $R t △ A B C$ 的外接圆．

作法：如图2．

（1）分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；

（2）作直线 $P Q$ ，交 $A B$ 于点O；

（3）以O为圆心， $O A$ 为半径作 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 即为所求作的圆．

下列不属于该尺规作图依据的是（）

A、两点确定一条直线 B、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

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4. 一副直角三角板按如图所示的方式放置，点E在边BC的延长线上， $B E ∥ D F$ ， $∠ B = ∠ D E F = 90 °$ ，则 $∠ C D E$ 的度数为（）

A、30° B、25° C、20° D、15°

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上，点 $E$ 在 $∠ C$ 内部，且 $△ A D E$ 是等边三角形， $∠ C B E = 60 °$ ．若 $B C = 5$ ， $B E = 3$ ，则 $△ A B D$ 的面积为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{3}$

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6. 如图，等腰 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $∠ A B C$ 的平分线分别交 $A C$ 、 $A D$ 于 $E$ 、 $F$ 两点， $M$ 为 $E F$ 的中点， $A M$ 的延长线交 $B C$ 于点 $N$ ，连接 $D M$ ，下列结论： $① D F = D N$ ； $② △ D M N$ 为等腰三角形； $③ E N ⊥ N C$ ； $④ ∠ D A M = ∠ A D M$ ； $⑤ A E = N C$ ，其中正确结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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7. 如图，∠MON＝90°，OB＝4，点A是直线OM上的一个动点，连结AB，作∠MAB与∠ABN的角平分线AF与BF，两条角平分线所在的直线相交于点F，则点A在运动过程中线段BF的最小值为（）

A、4 B、 $\sqrt{2}$ C、8 D、2 $\sqrt{2}$

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8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在△ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP = 6，则PC的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3$ C、 $3 \sqrt{5} - 3$ D、 $3 \sqrt{2}$

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二、填空题

9. 如图，小虎用 $10$ 块高度都是 $3 c m$ 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板 $(A C = B C ， ∠ A C B = 90 °)$ ，点 $C$ 在 $D E$ 上，点 $A$ 和 $B$ 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 $c m$ ．

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C = 4$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，则 $△ D E B$ 的周长是．

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11. 如图，将 $△ A B C$ 放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1)，点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么 $∠ A B C$ 的度数是.

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12. 如图， $△ A B C$ ， $△ A D E$ 均为等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $A B = 2 A D = 6$ ，若四边形 $B C D E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A D C$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的数量关系为．

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13. 已知等腰 $△ A B C$ ， $∠ A = 120 °$ ， $A B = 2$ .现将 $△ A B C$ 以点B为旋转中心旋转45°，得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，延长 $C^{'} A^{'}$ 交直线 $B C$ 于点D.则 $A^{'} D$ 的长度为.

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三、解答题

14. 如图1，放在墙角的立柜的上下底面是等腰直角三角形，如图2所示，若腰长 $A C$ 为1m，现要将这个立柜搬过宽为0.8m的通道，你觉得能通过吗？请说明理由．

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15. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 4 5^{∘}$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的高，点E在边 $A C$ 上， $B E$ 与 $A D$ 交于点F，且 $D F = D C$ ，试说明 $B E ⊥ A C$ ．

解：∵ $A D$ 是 $△ A B C$ 的高（已知）
∴ $∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{∘}$ （垂直的意义）
∵ $∠ A B D + ∠ B A D + ∠ A D B = 18 0^{∘}$ ， $∠ A B C = 4 5^{∘}$
∴∠▲ $= ∠ A B D = 4 5^{∘}$
∴ $B D = A D$ ．
在 $△ B D F$ 和 $△ A D C$ 中
（请继续完成以下说理过程）

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四、综合题

16. 在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $D$ 是射线 $A B$ 上的动点， $A E$ 垂直于直线 $C D$ 于点 $E$ ，交直线 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、【探索发现】如图①，若点 $D$ 在 $A B$ 的延长线上，点 $E$ 在线段 $C D$ 上时，请猜想 $C F$ ， $B D$ ， $A B$ 之间的数量关系为；

(2)、【拓展提升】如图②，若点 $D$ 在线段 $A B$ 上（不与点 $A$ ， $B$ 重合），试猜想 $C F$ ， $B D$ ， $A B$ 之间的数量关系，并说明理由：

(3)、【灵活应用】当 $A B = 3$ ， $C F = 3 \sqrt{2}$ 时，直接写出线段 $B D$ 的长为

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17. 已知等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点D在射线 $B C$ 上，连接 $A D$ ，在 $A D$ 右侧作等腰 $R t △ A D E$ ，且 $∠ A D E ＝ 90 °$

(1)、如图1，若 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，延长 $A E$ 、 $B C$ 交于点F，求证： $D E = E F$ ；

(2)、如图2，点M为 $A E$ 的中点，求证：点M在线段 $C D$ 的垂直平分线上；

(3)、如图3，射线 $A C$ 与射线 $E D$ 交于点G，若 $A D + D G = A E$ ，求 $∠ A D C$ 的度数．

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18. 某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形 $A B C$ 和等腰直角三角形 $C D E$ ，按如图1的方式摆放， $∠ A C B = ∠ E C D = 90 °$ ．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

(1)、【初步探究】如图1，试探究 $E D$ 与 $A B$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、【深入探究】如图2，当 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 三点共线时，请探究此位置时线段 $A E$ 、 $B E$ 、 $C E$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】如图3，当 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 三点不共线时，连接 $A E$ ，延长 $B D$ 交 $A E$ 于点 $F$ ，连接 $C F$ ，请猜想此位置时线段 $A F$ 、 $B F$ 、 $C F$ 之间的数量关系：．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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