2023-2024学年初中数学八年级上册 15.4 二次根式的混合同步分层训练培优卷(冀教版)

试卷更新日期：2023-08-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 化简 $(\sqrt{3} - 2) \cdot (\sqrt{3} + 2)$ 的结果是（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $\sqrt{3} + 2$ D、 $- \sqrt{3} - 2$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2 x} \cdot \sqrt{3 x} = \sqrt{6} x$ B、 $\sqrt{3} + 2 = 2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2 x} + \sqrt{3 x} = \sqrt{5 x}$ D、 $\frac{\sqrt{24} - \sqrt{12}}{4} = \sqrt{6} - \sqrt{3}$

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3. 下列各式计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} = 1$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{12} = 3 \sqrt{2}$

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4. 把 $(m - 1) \sqrt{- \frac{1}{m - 1}}$ 化简得（　　）

A、 $\sqrt{m - 1}$ B、 $\sqrt{1 - m}$ C、 $- \sqrt{m - 1}$ D、 $- \sqrt{1 - m}$

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5. 下列各式计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{8 a^{2}} = 4 a$ （a＞0） C、 $\sqrt{(- 4) \times (- 9)} = \sqrt{- 4} \times \sqrt{- 9}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{3}$

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6. 已知a= $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，b= $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，则a与b的关系是（）

A、相等 B、互为相反数 C、互为倒数 D、平方值相等

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7. 已知 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 $x = 9$ ， $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $max {\sqrt{9}$ ， $9^{2}$ ， $9}$ =81﹒当 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $\frac{1}{16}$ 时，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{512}$ B、 $\frac{1}{256}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{16}$

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8. 下列计算正确的是（　　）

A、 $(3 - 2 \sqrt{2}) (3 - 2 \sqrt{2}) = 9 - 2 \times 3 = 3$ B、 $(2 \sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 2 x - y$ C、 ${(3 - \sqrt{3})}^{2} = 3^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = 6$ D、 $(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}) = 1$

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二、填空题

9. 已知 $x = 2 + \sqrt{5}$ ， $y = 2 - \sqrt{5}$ ，则代数式 $x^{2} + y^{2}$ 的值为．

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10. 若 $\sqrt{x - 2023} + \sqrt{y + 2023} = 2$ ，其中 $x$ ， $y$ 均为整数，则 $x + y =$ ．

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11. 计算： $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} =$ ．

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12. 已知 $x = \sqrt{5} - 1$ ，则 $x^{2} + 2 x =$ ．

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13. 阅读理解：对于任意正整数a，b，∵ ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ， ∴ $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， ∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，只有当 $a = b$ 时，等号成立；结论：在 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ （a、b均为正实数）中，只有当 $a = b$ 时， $a + b$ 有最小值 $2 \sqrt{a b}$ .若 $m > 1$ ， $\sqrt{m} + \frac{1}{\sqrt{m} - 1}$ 有最小值为．

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三、解答题

14. 计算

(1)、下面是小华同学解答题目的过程：
      $\sqrt{\frac{9}{2}} - \sqrt{12} \times (\sqrt{24} + 3 \sqrt{\frac{2}{3}})$
      $= \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} - \sqrt{12} \times (\sqrt{24} + 3 \sqrt{\frac{2}{3}})$ 第一步．
      $= \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{\frac{2}{3}}$ 第二步．
      $= \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 12 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}$ 第三步．
      $= \frac{9 \sqrt{2}}{2}$ 第四步．
小华的解题过程是否有错误?如果有，请指出在第几步出现错误，并从这一步开始写出正确解答过程．

(2)、 $\frac{5}{\sqrt{5}} - | 2 - \sqrt{5} | + {(- 2)}^{- 2} - {(π - 3.14)}^{0}$

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15. 从理论上讲，人眼能看清楚无限远处的物体，但受光线等外在条件和人的眼球本身的健康程度等影响，实际上无法做到．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s可用经验公式 $s^{2} = 17 h$ 来估计，其中h是眼睛离海平面的高度（公式中s的单位是千米，h的单位是米）．某游客站在海边一处观景台上，眼睛距离海平面的高度约为34米，他能看到大海的最远距离约是多少千米？（结果保留整数， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）

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四、综合题

16. 阅读下面的材料并解决问题.
      $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$

      $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

      $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$

……

(1)、观察上式并填空： $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} =$ .

(2)、观察上式并猜想：当n是正整数时， $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ ；（用含 $n$ 的式子表示）

(3)、请利用（2）的结论计算下列式子：
      $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dots \dots + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2021}} + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}) \times (\sqrt{2023} + 1)$

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17. 阅读下面的材料，解决问题：
像 $(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) = 1$ 、 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ 、 $(\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0)$ 、……，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 、 $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ 、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}$ 与 $2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5}$ 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．

例如： $\frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ； $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 + 2 \sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 + 2 \sqrt{2}$ ；

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2}} =$ ； $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} =$ ；

(2)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots \dots + \frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2022}} + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2023}}$ ；

(3)、比较 $\sqrt{15} - \sqrt{14}$ 和 $\sqrt{14} - \sqrt{13}$ 的大小，并说明理由．

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18. 材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如： $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 6 - 2 = 4$ ，我们称 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ 的一个有理化因式是 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ ．

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．

例如： $\frac{8}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{8 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{8 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$ ．

请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：

(1)、 $\sqrt{7} + \sqrt{5}$ 的有理化因式为；

(2)、将式子 $\frac{11}{2 \sqrt{5} - 3}$ 分母有理化；

(3)、化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{2}{\sqrt{2023} + \sqrt{2021}}$ ．

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