2023-2024学年初中数学八年级上册 13.3 全等三角形的判定同步分层训练培优卷(冀教版)

试卷更新日期：2023-08-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，已知 $C A = C D ， ∠ 1 = ∠ 2$ ，如果只添加一个条件（不加辅助线）使ΔABC≌ΔDEC，则添加的条件不能为（）

A、 $A B = D E$ B、 $∠ B = ∠ E$ C、 $B C = E C$ D、 $∠ A = ∠ D$

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2. 如图，已知 $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，E、F分别是 $A D$ 和 $A D$ 延长线上的点，且 $B F ∥ C E$ ，连接 $B F ， C E$ ，下列说法中：① $B D = C D$ ；② $△ B D F ≌ △ C D E$ ；③ $∠ B A F + ∠ A B C = ∠ C D E$ ；④ $C E = A E$ ．正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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3. 如图，已知 $C A = C D ， ∠ 1 = ∠ 2$ ，如果只添加一个条件（不加辅助线）使 $△ A B C ≅ △ D E C$ ，则添加的条件不能为（）

A、 $A B = D E$ B、 $∠ B = ∠ E$ C、 $B C = E C$ D、 $∠ A = ∠ D$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ F E D$ 中， $A D = F C$ ， $A B ∥ E F$ ，添加一个条件后，你无法判定 $△ A B C ≌ △ F E D$ 的是（）

A、 $A B = E F$ B、 $∠ B = ∠ E$ C、 $B C = D E$ D、 $B C ∥ D E$

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5. 如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点 $O$ （即跷跷板的中点）至地面的距离是 $45 c m$ ，当小敏从水平位置 $C D$ 下降 $20 c m$ 时，小明离地面的高度是（）

A、 $20 c m$ B、 $45 c m$ C、 $25 c m$ D、 $65 c m$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 中， $∠ A C B = ∠ D B C = 90 °$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A B$ ，垂足为点 $F$ ，且 $A B = D E$ ．若 $B D = 8 c m$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、2cm B、 $3 c m$ C、 $4 c m$ D、 $6 c m$

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7. 乐乐所在的七年级某班学生到野外活动，为测量池塘两端 $A$ ， $B$ 的距离，乐乐、明明、聪聪三位同学分别设计出如下几种方案：
乐乐：如图 $①$ ，先在平地取一个可直接到达 $A$ ， $B$ 的点 $C$ ，再连接 $A C$ ， $B C$ ，并分别延长 $A C$ 至 $D$ ， $B C$ 至 $E$ ，使 $D C = A C$ ， $E C = B C$ ，最后测出 $D E$ 的长即为 $A$ ， $B$ 的距离．
明明：如图 $②$ ，先过点 $B$ 作 $A B$ 的垂线 $B F$ ，再在 $B F$ 上取 $C$ ， $D$ 两点，使 $B C = C D$ ，接着过点 $D$ 作 $B D$ 的垂线 $D E$ ，交 $A C$ 的延长线于点 $E$ ，则测出 $D E$ 的长即为 $A$ ， $B$ 的距离．
聪聪：如图 $③$ ，过点 $B$ 作 $B D ⊥ A B$ ，再由点 $D$ 观测，在 $A B$ 的延长线上取一点 $C$ ，使 $∠ B D C = ∠ B D A .$ 这时只要测出 $B C$ 的长即为 $A$ ， $B$ 的距离．
以上三位同学所设计的方案中可行的是（）

A、乐乐和明明 B、乐乐和聪聪 C、明明和聪聪 D、三人的方案都可行

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8. 如图，在五边形ABCDE中， $A B = A E = 4 ， B C = 3 ， D E = 2 ， ∠ A B C = ∠ A E D = 90 °$ ， $∠ D A C = \frac{1}{2} ∠ B A E$ ，则五边形ABCDE的面积等于（）

A、16 B、20 C、24 D、26

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二、填空题

9. 如图，A， $B$ 两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A， $B$ 间的距离，但无法从A点直接到达 $B$ 点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达 $B$ 点的点 $C$ ，连接 $B C$ ，取 $B C$ 的中点 $P$ （点 $P$ 可以直接到达A点），连接 $A P$ 并延长到点 $D$ ，使 $D P = A P$ ．连接 $C D$ ，并测量出它的长度为10米，则A， $B$ 两点间的距离为米．

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10. 如图，已知B，D，C，F在同一条直线上， $A B ∥ E F$ ， $A C ∥ D E$ ， $A C = D E$ ，若 $B F = 8$ ， $C D = 2$ ，则 $B D =$ ．

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11. 如图，已知D是△ABC的边BC上一点，且 $C D = A B$ ， $∠ B A D + \frac{1}{2} ∠ B = 90 °$ ， AE是△ABD的中线，若 $A E = \frac{\sqrt{13}}{6}$ ，则 $A C =$ ．

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12. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $\sqrt{3}$ ，点E是边 $A B$ 上一点， $A E = 1$ ，连接 $D E$ ，将 $D E$ 绕点D旋转 $90 °$ ，得到 $D F$ ，则 $△ A B F$ 的面积为．

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13. 如图8，正方形ABCD的边长为8，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在边BC，CD上，且∠MON＝90°，连接MN交OC于P，若BM＝2，则OP·OC=.

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三、解答题

14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为点 $D ， A D = B D$ ，点 $E$ 在 $A D$ 上， $D C = D E ， F$ 为 $B C$ 的中点，连接 $E F$ 并延长至点 $M$ ，使得 $F M = E F$ ，连接 $C M$ ．请判断线段 $A C$ 与线段 $M C$ 的关系，并说明理由．

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四、综合题

15. 小琳在学习等腰三角形性质“三线合一”时，发现：

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中，若 $A D ⊥ B C ， B D = C D$ ，可以得出 $∠ 1 = ∠ 2$ ．请你用所学知识证明此结论．

(2)、小琳提出了一个问题：如图2，如果 $A D ⊥ B C ， A B + B D = A C + C D$ ，能不能说明 $∠ 1 = ∠ 2$ ？小琳不知道这个问题如何解决，便询问老师，老师进行了指导：条件里有“ $A B + B D$ ”和“ $A C + C D$ ”，我们可以尝试将 $A B$ 和 $B D$ “变成”一条线段，将 $A C$ 和 $C D$ “变成”一条线段，为了确保 $A D ⊥ B C$ 的条件可以使用， $B D$ 和 $C D$ 的位置最好不要改变，所以我们可以“延长 $D B$ 至E，使 $B E = A B$ ，延长 $D C$ 至F，使 $C F = A C$ ”．老师指导后，小琳还是没有思路．请你帮助小琳，完成问题的解答，

(3)、小琳又提出了新的问题：如图3，如果 $∠ 1 = ∠ 2 ， A B + B D = A C + C D$ ，能不能说明 $A D ⊥ B C$ ？请你帮助小琳，完成问题的解答．

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16.

(1)、【操作发现】如图1是一个长为 $4 b$ 、宽为 $a$ 的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．那么图2中的阴影部分的面积为：（用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出 $(a + b)^{2}$ ， $(a - b)^{2}$ ， $a b$ 之间的等量失系是；

(2)、【灵活应用】运用所得到的公式计算：若x，y为实数，且 $x - y = 7$ ， $x y = \frac{15}{4}$ ，求 $x + y$ 的值；

(3)、【拓展迁移】将两块全等的特制直角三角板 $△ A O B$ ， $△ C O D (∠ A O B = ∠ C O D = 90 °)$ 按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接AC，BD．若 $A D = 14$ ， $S_{△ A O C} + S_{△ B O D} = 50$ ，求阴影部分的面积．

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17. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 2 B C = 2 a$ ，点D是AC边上一点， $D F ∥ B C$ 交 $A B$ 于点F， $A E ⊥ A B$ 交直线 $D F$ 于点E．

(1)、如图1，当D为 $A C$ 的中点时，证明： $△ A D E ≌ △ B C A$ ．

(2)、如图2，若 $C M ⊥ A E$ 于点M，当点D运动到某一位置时恰有 $A F = a$ ，则 $C M$ 与 $D E$ 有何数量关系，并说明理由．

(3)、连接 $C F$ ，当 $∠ A C F = 45 °$ 时，求 $\frac{A F}{B F}$ 的值．

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二、填空题

三、解答题

四、综合题

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