2023-2024学年初中数学八年级上册 12.4 分式方程同步分层训练培优卷(冀教版)

试卷更新日期：2023-08-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知关于x的分式方程 $\frac{m}{x - 2} + 1 = \frac{x}{2 - x}$ 的解是非负数，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq 2$ B、 $m \geq 2$ C、 $m \leq 2$ 且 $m \neq - 2$ D、 $m < 2$ 且 $m \neq - 2$

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2. 从 $- 2, - 1, - \frac{1}{2}, 1, 2$ 这五个数中，随机抽取一个数，记为 $a$ ，若数 $a$ 使关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} 2 x + 7 \geq 9 \\ x - a < 0 \end{matrix}$ 无解，且使分式方程 $\frac{a}{2 x - 3} + \frac{a - 2}{2 x - 3} = - 1$ 的解为正分数，那么这五个数中所有满足条件的 $a$ 的值之和是（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{3}{2}$

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3. 分式方程 $\frac{x - 2}{x - 3} = \frac{2}{x - 3}$ 的解为（　　）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 用换元法解方程 $\frac{x - 1}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x - 1} = 3$ 时，如果设 $\frac{x - 1}{x^{2}} = y$ ，那么原方程可化为关于y的方程是（）

A、 $y^{2} + 3 y - 1 = 0$ B、 $y^{2} - 3 y - 1 = 0$ C、 $y^{2} - 3 y + 1 = 0$ D、 $y^{2} + 3 y + 1 = 0$

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5. 若整数a使关于x的分式方程 $\frac{1}{x - 3} + \frac{x - a}{3 - x} = 1$ 的解为非负整数，且使关于y的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{y + 5}{3} \leq \frac{y}{2} \\ y - 3 > 2 (y - a) \end{array}$ 至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）

A、24 B、12 C、6 D、4

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6. 如果关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} n x - 9 > 2 x - 2 \\ \frac{9}{2} x ⩽ \frac{34 + 5 x}{3} \end{array}$ 无解，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{n y - 2}{y - 5} + \frac{3}{5 - y} = - 1$ 有正数解，则符合条件的所有整数 $n$ 的和是 $($ $)$

A、7 B、6 C、5 D、4

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7. 若整数a使关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} (x - 4) + \frac{x}{2} \geq 3 \\ \frac{a - x}{4} \geq 0 \end{array}$ 无解，且使关于x的分式方程 $\frac{a x}{x - 3} + \frac{3}{3 - x} = 2$ 有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是（）

A、2 B、3 C、 $- 3$ D、8

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8. 已知a，b为实数，则解可以为–2＜x＜2的不等式组是（）

A、 $\{\begin{matrix} a x > 1 \\ b x > 1 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} a x > 1 \\ b x < 1 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} a x < 1 \\ b x > 1 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} a x < 1 \\ b x < 1 \end{matrix}$

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二、填空题

9. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x + m}{x - 2} + \frac{1}{2 - x} = 3$ 有增根，则 $m =$ ．

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10. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{x + m}{x - 2} + \frac{2 x - 1}{2 - x} = 1$ 的解为正数，则 $m$ 的取值范围是．

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11. 当 $m =$ 时，解分式方程 $\frac{x - 5}{x - 3} = \frac{m - 2}{3 - x}$ 会出现增根.

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12. 方程组 ${\begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 3 \\ \frac{1}{x} - \frac{3}{y} = - 2 \end{array}$ 的解是．

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13. 已知 $\frac{x}{x^{2} - x + 1}$ ＝ $\frac{1}{7}$ ，则 $\frac{x^{2}}{x^{4} - x^{2} + 1}$ ＝．

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三、计算题

14.

(1)、解方程 $\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{8}{x^{2} - 4}$ ，

(2)、 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{x^{2} - 2 x}{x - 2} \div x$ ，从 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 几个数中选取一个作为 $x$ 的值代入．

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四、解答题

15. 先化简： $(\frac{a^{2} - 3}{a - 3} - a) \div \frac{a - 1}{a^{2} - 6 a + 9}$ ，然后从不等式组 ${\begin{array}{l} 7 - 2 x > - 1 \\ x - 1 \geq 0 \end{array}$ 的整数解中选一个合适的数作为a的值，代入求值．

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16. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 2 x}{x - 1} \div (\frac{1}{x - 1} + 1)$ ，其中x是分式方程 $\frac{x - 3}{x - 2} - 2 = \frac{5}{2 - x}$ 的解．

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五、综合题

17. 对于两个不等的非零实数a，b，若分式 $\frac{(x - a) (x - b)}{x}$ 的值为0，则x＝a或x＝b.
因为 $\frac{(x - a) (x - b)}{x} = \frac{x^{2} - (a + b) x + a b}{x} = x + \frac{a b}{x} - (a + b)$ ，所以关于x的方程x+ $\frac{ab}{x}$ ＝a+b的两个解分别为x₁＝a，x₂＝b.

利用上面建构的模型，解决下列问题：

(1)、若方程x+ $\frac{p}{x}$ ＝q的两个解分别为x₁＝﹣1，x₂＝4.则p＝， q＝；（直接写出结论）

(2)、已知关于x的方程2x+ $\frac{n^{2} + n - 2}{2 x + 1}$ ＝2n的两个解分别为x₁ ， x₂（x₁＜x₂）.求 $\frac{2 x_{1}}{2 x_{2} - 3}$ 的值.

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18. 观察下面的变形规律：
$\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2} ； \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ； \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} ； \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} ；$ ……
解答下面的问题：

(1)、若n为正整数，请你猜想 $\frac{1}{n (n + 1)} =$ ；

(2)、计算： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + ⋯ + \frac{1}{2018 \times 2019} + \frac{1}{2019 \times 2020}$ .

(3)、分母中含有未知数的方程叫做分式方程.如 $\frac{2}{3 x} + \frac{4}{x} = \frac{7}{6}$ .
解法如下：
通分，得 $\frac{2}{3 x} + \frac{12}{3 x} = \frac{7}{6}$ ，
化简，得 $\frac{2 + 12}{3 x} = \frac{7}{6}$ ，
去分母，得14×6=21x，
解得x=4
分式方程要检验，当x=4时，原方程的分母不为0，所以x=4是原方程的解.
受第（1）问启发，请你解方程： $\frac{1}{x (x + 1)} + \frac{1}{x + 1} = 2$

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二、填空题

三、计算题

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五、综合题

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