2023-2024学年初中数学八年级上册 12.3 分式的加减同步分层训练培优卷(冀教版)

试卷更新日期：2023-08-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 计算 $\frac{a}{2 a + 2} + \frac{a}{2 a + 2}$ 的结果是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{a}{a + 1}$ C、 $\frac{1}{a + 2}$ D、 $\frac{a}{a + 2}$

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2. 设 $p = \frac{a}{a + 1} - \frac{b}{b + 1}$ ， $q = \frac{1}{a + 1} - \frac{1}{b + 1}$ ，则 $p$ ， $q$ 的关系是（）

A、 $p = q$ B、 $p > q$ C、 $p = - q$ D、 $p < q$

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3. 在计算 $(\frac{x - 1}{x + 1} + 1) \cdot \frac{x + 1}{x}$ 时，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但计算结果相同，则（）
嘉嘉： $(\frac{x - 1}{x + 1} + 1) \cdot \frac{x + 1}{x}$
$= (\frac{x - 1 + 1}{x + 1}) \cdot \frac{x + 1}{x}$
$= \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x}$
$= 1$
琪琪： $(\frac{x - 1}{x + 1} + 1) \cdot \frac{x + 1}{x}$
$= \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x}$
$= \frac{x - 1}{x} + \frac{x + 1}{x}$
$= \frac{2 x}{2 x}$
$= 1$

A、嘉嘉正确 B、琪琪正确 C、都正确 D、都不正确

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4. 已知 $x^{2} - 3 x - m = 0$ ，则代数式 $\frac{x}{x^{2} - x - m}$ 的值是（）

A、3 B、2 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 若分式 $\frac{x^{2}}{x - 1} □ \frac{x}{x - 1} = x$ 则在“ $□$ ”处的运算符号（）

A、只能是“ $\div$ ” B、可以是“ $\div$ ”或“ $-$ ” C、不能是“ $-$ ” D、可以是“ $\times$ ”或“ $+$ ”

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6. 若 $a$ ， $b$ 为实数且满足 $a \neq - 1$ ， $b \neq - 1$ ，设 $M = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1}$ ， $N = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ ，有以下2个结论： $①$ 若 $a b = l$ ，则 $M = N$ ； $②$ 若 $a + b = 0$ ，则 $M N \leq 0 .$ 下列判断正确的是（）

A、①对②错 B、①错②对 C、①②都错 D、①②都对

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7. 已知实数x、y、z满足 $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} = 1$ ，则 $\frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y}$ 的值（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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8. 如果 $a$ ， $b$ ， $c$ 是正数，且满足 $a + b + c = 1$ ， $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} = 5$ ，那么 $\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c}$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

9. 如果 $\frac{a}{b} = 2$ ，则 $\frac{a^{2} - a b - b^{2}}{a^{2} + b^{2}} =$ ．

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10. 当a＝2021时，分式 $\frac{a^{2} - 4}{a - 2}$ 的值是．

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11. 若 $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ ，则分式 $\frac{3 a + b}{b} =$ ．

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12. 欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
$\frac{a^{r}}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^{r}}{(b - c) (b - a)} + \frac{c^{r}}{(c - a) (c - b)} = {\begin{cases} p ， & r = 0 时 \\ 0 ， & r = 1 时 \\ 1 ， & r = 2 时 \\ a + b + c ， & r = 3 时 \end{cases}$

（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．

(1)、当 $r = 0$ 时，常数p的值为．

(2)、利用欧拉公式计算： $\frac{202 2^{3}}{2} - 202 1^{3} + \frac{202 0^{3}}{2} =$ ．

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13. 端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还会佩减香囊以避邪驱瘟.“行知”精品店也推出了“求真”香囊、“乐群”香囊、“创造”香囊三种产品，所有香囊的外包装都由回收材料制成，不计成本.其中“求真”香囊的里料是20克艾叶，“乐群”香囊的里料是10克艾叶和20克薄荷，“创造”香囊的里料是20克艾叶和 20 克薄荷.端午节当天，店长发现“乐群”香囊的销量是“求真”香囊的2倍，且“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的 $\frac{3}{2}$ 倍，当天的总利润率是50% .第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，当三种产品的销量分别与前一天相同时，总利润率为.

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三、计算题

14. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 2$ ．

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四、解答题

15. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x + 1} \div (\frac{- 3}{x + 1} + x - 1)$ ，请从不等式组 ${\begin{array}{l} 5 - 2 x \geq 1 \\ x + 3 > 0 \end{array}$ 的整数解中选择一个合适的值代入求值．

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五、综合题

16. 在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如： $\frac{x + 1}{x - 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 1}$ 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如 $\frac{3}{x - 1}$ ， $\frac{- 3 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：
$\frac{x + 1}{x - 1}$ ＝ $\frac{(x - 1) + 2}{x - 1}$ ＝1+ $\frac{2}{x - 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 1}$ ＝ $\frac{x^{2} - 1 + 1}{x + 1}$ ＝ $\frac{(x - 1) (x + 1) + 1}{x + 1}$ ＝x﹣1+ $\frac{1}{x + 1}$ .
参考上面的方法解决下列问题：

(1)、将分式 $\frac{x + 6}{x + 2}$ 化为带分式；

(2)、求分式 $\frac{23 - 9 n}{8 - n}$ 的最大值；（其中n为正整数）

(3)、已知分式 $\frac{2 t + 3}{t + 2}$ 的值是整数，求t的整数值.

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17. 我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式 $\frac{4}{x + 2}$ ， $\frac{3 x^{2}}{x^{3} － 4 x}$ 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 $\frac{x + 1}{x － 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 1}$ 是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， $\frac{x + 1}{x － 1}$ = $\frac{(x - 1) + 2}{x － 1}$ =1＋ $\frac{2}{x － 1}$ ， $\frac{2 x - 3}{x + 1}$ = $\frac{2 x + 2 - 5}{x + 1}$ = $\frac{2 x + 2}{x + 1}$ + $\frac{- 5}{x + 1}$ = 2＋ $\frac{- 5}{x + 1}$ ．

(1)、将假分式 $\frac{4 x － 5}{x + 1}$ 化为一个整式与一个真分式的和；

(2)、将假分式 $\frac{a^{2} － 4 a + 6}{a － 1}$ 化成一个整式与一个真分式的和的形式为： $\frac{a^{2} － 4 a + 6}{a － 1}$ = a＋m＋ $\frac{n}{a － 1}$ ，求m、n的值；并直接写出当整数a为何值时，分式 $\frac{a^{2} － 4 a + 6}{a － 1}$ 为正整数；

(3)、自然数A是 $\frac{10^{18} + 2022}{10^{9} + 2}$ 的整数部分，则A的数字和为．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是1+2+6=9）

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18. 阅读材料：小明发现像 $m + n$ ， $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ ， $m^{2} + n^{2}$ 等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式，他还发现像 $m^{2} + n^{2}$ ， $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 等神奇对称式都可以用 $m + n$ ， $m n$ 表示.
例如： $m^{2} + n^{2} = {(m + n)}^{2} - 2 m n$ ， $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m + n}{m n}$ .

请根据以上材料解决下列问题：

(1)、① $\frac{1}{m n}$ ， ② $m^{2} - n^{2}$ ， ③ $\frac{n}{m}$ ， ④ $x y + y z + x z$ 中，是神奇对称式的有（填序号）；

(2)、已知 $(x - m) (x - n) = x^{2} - p x + q$ .
①若 $p = 3$ ， $q = 2$ ，则神奇对称式 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ ；

②若 $q = \frac{1}{4}$ ，且神奇对称式 $m^{2} + n^{2} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值为 $- \frac{1}{2}$ ，求 $p$ 的值.

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二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、综合题

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