2023-2024学年苏科版数学九年级下册5.2 二次函数的图像与性质同步练习

试卷更新日期：2023-08-01 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 1$ ，则当 $0 \leq x \leq 3$ 时，函数的最大值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、2

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2. 已知二次函数 $y = - 3 {(x - 2)}^{2} - 3$ ，下列说法正确的是（）

A、对称轴为 $x = - 2$ B、顶点坐标为 $(2 ， 3)$ C、函数的最大值是－3 D、函数的最小值是－3

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3. 在平面直角坐标系中，将二次函数 $y = (x + 1)^{2} + 3$ 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（）

A、 $y = (x + 3)^{2} + 2$ B、 $y = (x - 1)^{2} + 2$ C、 $y = (x - 1)^{2} + 4$ D、 $y = (x + 3)^{2} + 4$

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4. 已知点（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂）为二次函数y=-x²图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（）

A、若x₁>x₂ ，则y₁>y₂ B、若x₁<x₂ ，则y₁<y₂ C、若： $x_{1} x_{2} < {(x_{2})}^{2}$ ，则y₁>y₂ D、若 $x_{1} x_{2} > {(x_{2})}^{2}$ ，则y₁<y₂

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5. 将二次函数 $y = a x^{2} - 8 a x + 2$ 的图象向左平移m个单位后过点 $(5 ， 2)$ ，则m的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 已知抛物线y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)经过点(-1，-1)，(0，1)，当x=-2时，与其相对应的函数值y>1．有下列结论：
①abc>0；
②关于x的方程ax²+bx+c-3= 0有两个不相等的实数根；
③a+b+c>7；
其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 把抛物线 $y = - x^{2}$ 向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）

A、 $y = - {(x - 1)}^{2} - 3$ B、 $y = - {(x - 1)}^{2} + 3$ C、 $y = - {(x + 1)}^{2} - 3$ D、 $y = - {(x + 1)}^{2} + 3$

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8. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $a b c < 0$ B、函数的最小值为 $a + b + c$ C、当 $- 1 < x < 3$ 时， $y > 0$ D、 $4 a + 2 b + c > 0$

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9. 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图像如图所示，则一次函数y＝bx＋a与反比例函数y＝ $\frac{a + b + c}{x}$ 在同一坐标内的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，图象过点 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 2$ ，下列结论：（1） $4 a + b = 0$ ；（2） $9 a + c > 3 b$ ；（3） $8 a + 7 b + 2 c > 0$ ；（4）若点 $A (- 3 ， y_{1})$ ，点 $B (- \frac{1}{2} ， y_{2})$ 、点 $C (\frac{7}{2} ， y_{3})$ 在该函数图象上，则 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ ；（5）若方程 $a (x + 1) (x - 5) = - 3$ 的两根为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{1} < - 1 < 5 < x_{2}$ ．其中正确的结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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11. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点 $B (4 ， 0)$ ，则下列结论中，正确的个数是（）
① $a b c > 0$ ；
② $4 a + b > 0$ ；
③ $M (x_{1} ， y_{1})$ 与 $N (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上两点，若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；
④若抛物线的对称轴是直线 $x = 3$ ， m为任意实数，则 $a (m - 3) (m + 3) \leq b (3 - m)$ ；

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

12. 二次函数 $y = - x^{2} - 3 x + 4$ 的最大值是．

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13. 抛物线 $y = x^{2} - 6 x + c$ 与 $x$ 轴只有一个交点，则 $c =$ ．

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14. 如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高 $2.5 m$ 时，水柱落点距O点 $2.5 m$ ；喷头高 $4 m$ 时，水柱落点距O点 $3 m$ ．那么喷头高m时，水柱落点距O点 $4 m$ ．

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15. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x - a^{2} + 4 a - 11$ （a是常数，且 $a \neq 0$ ）．

(1)、该二次函数图象的对称轴是；

(2)、该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为．

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16. 已知二次函数y＝x²-2x-3在t≤x≤t+3时的最小值是t，则t的值为 .

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17. $y$ 关于 $x$ 的二次函数 $y = a x^{2} + a^{2}$ ，在 $- 1 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 时有最大值6，则 $a =$ ．

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三、作图题

18. 已知二次函数 $y = (x + m) (x - 1)$ 的图象经过点 $(2 ， - 3)$ .

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程 $(x + m) (x - 1) = - 3$ 的解；

②当x满足什么条件时， $y > 0$ .

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四、解答题

19. 已知二次函数 $y = m x^{2} + (m - 1) x + m - 1$ 有最小值为0，求m的值．

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 4$ ，求 $m + n$ 的值.

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五、综合题

21. 我们约定：若关于x的二次函数 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 与 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 同时满足 $\sqrt{a_{2} - c_{1}} + （ b_{2} + b_{1} ）^{2} + | c_{2} - a_{1} | = 0 ， b_{1} - {b_{2}}^{2023} \neq 0$ ，则称函数 $y_{1}$ 与函数 $y_{2}$ 互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：

(1)、若关于x的二次函数 $y_{1} = 2 x^{2} + k x + 3$ 与 $y_{2} = m x^{2} + x + n$ 互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；

(2)、对于任意非零实数r，s，点 $P (r ， t)$ 与点 $Q (s ， t) (r \neq s)$ 始终在关于x的函数 $y_{1} = x^{2} + 2 r x + s$ 的图像上运动，函数 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 互为“美美与共”函数．
①求函数 $y_{2}$ 的图像的对称轴；
②函数 $y_{2}$ 的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；

(3)、在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 与它的“美美与共”函数 $y_{2}$ 的图像顶点分别为点A，点B，函数 $y_{1}$ 的图像与x轴交于不同两点C，D，函数 $y_{2}$ 的图像与x轴交于不同两点E，F．当 $C D = E F$ 时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．

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2023-2024学年苏科版数学九年级下册5.2 二次函数的图像与性质 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、作图题

四、解答题

五、综合题

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