2023-2024学年北师大版数学九年级上册6.3反比例函数的应用（培优卷）

试卷更新日期：2023-08-01 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图是反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 和 $y = \frac{a}{x}$ （ $a ＞ 0 ， a$ 为常数）在第一象限内的图象，点M在 $y = \frac{a}{x}$ 的图象上， $M C ⊥ x$ 轴于点C，交 $y = \frac{2}{x}$ 的图象于点A， $M D ⊥ y$ 轴于点D，交 $y = \frac{2}{x}$ 的图象于点B，当点M在 $y = \frac{a}{x}$ 的图象上运动时，以下结论：① $△ O B D$ 与 $△ O C A$ 的面积相等；②四边形 $O A M B$ 的面积不变；③当点A是 $M C$ 的中点时，则点B是 $M D$ 的中点.其中错误结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 如图，已知点 $A (3 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ， $C$ 是 $y$ 轴上位于点 $B$ 上方的一点， $A D$ 平分 $∠ O A B$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，直线 $B E$ 交 $A D$ 于点 $D$ ．若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图像经过点 $D$ ，则 $k$ 的值是（）

A、-8 B、-9 C、-10 D、-12

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3. 如图，直线 $y = k x + b$ 与双曲线 $y = \frac{m^{2} + 1}{x} (x > 0)$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} < x_{2})$ ，直线AB交x轴于 $C (x_{0} ， 0)$ ，下列命题：① $\frac{x_{1}}{y_{2}} = \frac{x_{2}}{y_{1}}$ ；②当 $x_{1} < x < x_{2}$ 时， $k x + b > \frac{m^{2} + 1}{x}$ ；③若 $M (t ， s)$ 为线段AB的中点，则 $t = \frac{1}{2} x_{0}$ ，其中正确的命题有（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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4. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = \frac{3}{2} x + 3$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于点 $B$ ，点 $A$ ，以线段 $A B$ 为边作正方形 $A B C D$ ，且点 $C$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 10$ B、 $- 6$ C、 $- 20$ D、20

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5. 如图，正比例函数 $y = x$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点， $∠ C A D = 90 °$ ，两边分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $D$ ， $C$ ，四边形 $O C A D$ 的面积为 $1$ ， $A E ⊥ x$ 轴于点 $E$ .有下列结论：① $O A = O B$ ；②三角形 $O A E$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ；③线段 $A B$ 的长为 $\sqrt{6}$ ；④不等式 $x > \frac{k}{x}$ 的解集是 $x > 1$ 或 $x < - 1$ .其中正确结论的个数是（）.

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图在平面直角坐标系中，直线 $y = - x + 6$ 分别与x轴、y轴交于点A、B ，与 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点C、D ．若CD = $\frac{1}{3}$ AB ，则k的值为（）

A、 $4$ ． B、 $6$ ． C、 $8$ ． D、 $10$ ．

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7. 如图，平行于x轴的直线与函数y＝ $\frac{k_{1}}{x}$ （k₁＞0，x＞0），y＝ $\frac{k_{2}}{x}$ （k₂＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k₁﹣k₂的值为（　　）

A、12 B、﹣12 C、6 D、﹣6

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8. 如图，矩形ABC0的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为(- $\frac{20}{3}$ ，5)，D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，则过点E的反比例函数解析式是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝ $\frac{6}{x}$ (x＞0)的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m.若S_△OAF＋S_{四边形EFBC}＝6，则m的值是（）

A、1 B、 C、 D、 $\sqrt{5}$

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10. 如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于 $\frac{k}{2}$ ，其中正确的个数有（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

11. 如图，在平面直角坐标系中，已知第一象限上的点A（m，n）是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上的动点，过点A作AM∥y轴交x轴于点M，过点N（0，2n）作NB∥x轴交双曲线于点B，交直线AM于点C，若四边形OACB的面积为4，则k的值为．

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12. 函数y₁＝x（x≥0），y₂＝ $\frac{4}{x}$ （x＞0）的图象如图所示，则以下4个结论：①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；②当x＞2时，y₂＞y₁；③直线x＝1与y₁ ， y₂依次交于C，B两点，则BC＝3；④当x逐渐增大时，y₁随着x的增大而增大y₂随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是．

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13. 已知，一次函数 $y = - x + 1$ 与反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象交于点A、B，在x轴上存在点P（n，0），使△ABP为直角三角形，则P点的坐标是．

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14. 如图，已知直线y=k₁x与双曲线y= $\frac{k_{1}}{x}$ 交于A B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线y= $\frac{k_{2}}{x}$ 经过点C，则 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 的值是。

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15. 如图，直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 4$ 分别交x轴，y轴于点A和点B，点C是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上位于直线下方的一点，CD∥y轴交AB于点D，CE∥x轴交AB于点E， $A E • B D = 6$ ，则k的值为

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三、综合题

16. 反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象与直线 $y = k x + b$ 交点为 $A (- 4 ， - 3)$ 、 $B (2 ， 6)$ ，点 $A$ 在点 $B$ 的左侧.

(1)、如图1，求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、如图2，点 $C$ 是反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ （ $x > 0$ ）上一点，点 $D$ 是平面内一点，连接 $B C$ ， $C D$ 、 $D A$ ，若四边形 $A B C D$ 是矩形，求点 $D$ 的坐标；

(3)、如图3，点 $P$ 是 $x$ 轴上一点，以 $B P$ 为边向线段 $B P$ 右侧作等边 $△ B P E$ ，若点 $E$ 在第四象限且到 $x$ 轴的距离是 $\sqrt{3}$ ，求点 $P$ 的坐标.

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17. 新冠疫情期间，口罩的需求量增大，某口罩加工厂承揽生产1600万个口罩的任务，每天生产的口罩数量相同，计划用x天（x＞4）完成．

(1)、求每天生产口罩y（万个）与生产时间x（天）之间的函数表达式；

(2)、由于疫情形势严峻，卫生管理部门要求厂家提前4天交货，那么加工厂每天要多做20万个口罩才能完成任务，求实际生产时间．

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18. 制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃）从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系：停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知在操作加热前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．

(1)、分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；

(2)、根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？

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19. 列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数．

(1)、某农场的粮食总产量为1 500t，则该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数关系式；

(2)、在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量x（L）的函数关系式；

(3)、小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的函数关系式．

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20. 在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x(米)是反比例函数关系，图象如图所示：

(1)、求y与x之间的函数关系式

(2)、若该工程队有4台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务?

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