2023-2024学年北师大版数学九年级上册6.2反比例函数的图象与性质（培优卷）

试卷更新日期：2023-08-01 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知 $(x_{1} ， y_{1})$ 、 $(x_{2} ， y_{2})$ 、 $(x_{3} ， y_{3})$ 为双曲线 $y = - \frac{1}{x}$ 上的三个点，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则以下判断正确的是（）

A、若 $x_{1} x_{2} > 0$ ，则 $y_{1} y_{3} < 0$ B、若 $x_{1} x_{3} < 0$ ，则 $y_{1} y_{2} > 0$ C、若 $x_{2} x_{3} > 0$ ，则 $y_{1} y_{3} > 0$ D、若 $x_{2} x_{3} < 0$ ，则 $y_{1} y_{3} < 0$

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2. 如图， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 6 ， 10)$ ， $B (- 6 ， 0)$ ， $C (4 ， 0)$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转一定角度后使 $A$ 落在 $y$ 轴上，与此同时顶点 $C$ 恰好落在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，则该反比例函数表达式为（）

A、 $y = \frac{- 6}{x}$ B、 $y = \frac{- 10}{x}$ C、 $y = \frac{- 15}{x}$ D、 $y = \frac{- 12}{x}$

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3. 如图，平行四边形 $A B C O$ 的顶点 $B$ 在双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 上，顶点 $C$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上， $B C$ 中点 $P$ 恰好落在 $y$ 轴上，已知 $S_{▱ O A B C} = 10$ ，则 $k$ 的值为（）

A、-8 B、-6 C、-4 D、-2

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4. 如图， $R t Δ A B O$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $A O = 3 B O$ ，点 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上， $O A$ 交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象于点 $C$ ，且 $O C = 2 C A$ ，则 $k$ 的值为（）

A、-2 B、-4 C、-6 D、-8

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5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O在坐标原点，且与反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 的图象相交于A（m，3 $\sqrt{2}$ ），C两点，已知点B（ $2 \sqrt{2}$ ， $2 \sqrt{2}$ ），则k的值为（）

A、-6 B、-6 $\sqrt{2}$ C、-12 D、-12 $\sqrt{2}$

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6. 已知点A是双曲线y＝ $\frac{1}{x}$ 在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）上运动，则k的值是（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、﹣3 D、﹣ $\sqrt{3}$

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7. 如图，点A是反比例图数y＝ $\frac{m}{x}$ （x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝ $\frac{n}{x}$ （x＜0）图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则m+n＝（　　）

A、﹣4 B、﹣6 C、﹣8 D、﹣12

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8. 如图，点A是反比例函数y=(x<0)的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为（）

A、6 B、-6 C、3 D、-3

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9. 如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（　　）

A、1＜k＜9 B、2≤k≤34 C、1≤k≤16 D、4≤k＜16

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10. 如图，在 $x$ 轴正半轴上依次截取 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \dots = A_{n - 1} A_{p} = 1$ ，过点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 、…… $A_{n}$ 分别作 $x$ 轴的垂线，与反比例函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 交于点 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 、 $P_{3}$ 、…、 $P_{n}$ ，连接 $P_{1} P_{2}$ 、 $P_{2} P_{3}$ 、… $P_{n - 1} P_{n}$ ，过点 $P_{2}$ 、 $P_{3}$ 、…、 $P_{n}$ 分别向 $P_{1} A$ 、 $P_{2} A_{2}$ 、…、 $P_{n - 1} A_{n - 1}$ 作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（）.

A、 $2^{n}$ B、 $\frac{n - 1}{n}$ C、 $2 n + 1$ D、 $\frac{n + 2}{2 n}$

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二、填空题

11. 已知过原点的一条直线 $l$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点 $(A$ 在 $B$ 的右侧 $)$ . $C$ 是反比例函数图象上位于 $A$ 点上方的一动点，连接 $A C$ 并延长交 $y$ 轴于点 $D$ ，连接 $C B$ 交 $y$ 轴于点 $E$ .若 $A C = m C D ， B C = n C E$ ，则 $m - n =$ .

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12. 如图，已知等边 $△$ $O A_{1} B_{1}$ ，顶点 $A_{1}$ 在双曲线 $y = \frac{\sqrt{3}}{x} (x > 0)$ 上，点 $B_{1}$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ．过 $B_{1}$ 作 $B_{1} A_{2} ∥ O A_{1}$ 交双曲线于点 $A_{2}$ ，过 $A_{2}$ 作 $A_{2} B_{2} ∥ A_{1} B_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $B_{2}$ ，得到第二个等边 $△$ $B_{1} A_{2} B_{2}$ ；过 $B_{2}$ 作 $B_{2} A_{3} ∥ B_{1} A_{2}$ 交双曲线于点 $A_{3}$ ，过 $A_{3}$ 作 $A_{3} B_{3} ∥ A_{2} B_{2}$ 交 $x$ 轴于点 $B_{3}$ ，得到第三个等边 $△$ $B_{2} A_{3} B_{3}$ ；以此类推，…，则点 $B_{12}$ 的坐标为．

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13. 如图，已知△P₁OA₁ ， △P₂A₁A₂ ， △P₃A₂A₃…△PnAn_﹣₁An都是等腰直角三角形，点P₁、P₂、P₃…Pn都在函数y＝ $\frac{4}{x}$ （x＞0）的图象上，斜边OA₁、A₁A₂、A₂A₃…An_﹣₁An都在x轴上．则点A₂₀₂₁的坐标为．

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14. 如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y= $\frac{k}{x}$ ，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.设P（t，0），当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是.

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15. 如图，在x轴正半轴上依次截取OA₁＝A₁A₂＝A₂A…A_n_﹣1A_n（n为正整数），过点A₁、A₂、A₃、…、A_n分别作x轴的垂线，与反比例函数y＝ $\frac{1}{x}$ （x＞0）交于点P₁、P₂、P₃、…、P_n ，连接P₁P₂、P₂P₃、…、P_n_﹣1P_n ，过点P₂、P₃、…、P_n分别向P₁A₁、P₂A₂、…、P_n_﹣1A_n_﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是

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三、综合题

16. 如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S_△PCO＝ $\frac{3}{8}$ S_矩形OABC．

(1)、若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；

(2)、连接PO、PC，求PO+PC的最小值；

(3)、若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．

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17. 如图，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上， $∠ A O C = 60 °$ ， $O C = 12$ ， CD平分∠OCB，CD交OA于点D，作DE⊥CD交AB于点E，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点C与点E.

(1)、求k的值及直线CD的解析式；

(2)、求证： $A D = A E$ ；

(3)、求点E的坐标.

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18. 已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式b＝ $\frac{12}{a + 3}$ ﹣2．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y＝ $\frac{12}{x + 3}$ ﹣2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：

(1)、类比反比例函数可知，函数y＝ $\frac{12}{x + 3}$ ﹣2的自变量x的取值范围是，这个函数值y的取值范围是．

(2)、“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝| $\frac{12}{x + 3}$ ﹣2|的图象和性质，请根据函数y＝ $\frac{12}{x + 3}$ ﹣2的图象，画出函数y＝| $\frac{12}{x + 3}$ ﹣2|的图象；

(3)、结合函数y＝| $\frac{12}{x + 3}$ ﹣2|的图象解答下列问题：
①求出方程| $\frac{12}{x + 3}$ ﹣2|＝0的根；

②如果方程| $\frac{12}{x + 3}$ ﹣2|＝a有2个实数根，请直接写出a的取值范围．

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19. 已知点A（3，m+2），B（m+4，2）都在反比例函数y $= \frac{k}{x}$ 的图像上．

(1)、求m，k的值；

(2)、如图①，已知反比例函数y $= \frac{k}{x}$ 的图像上有两点P₁（x₁ ， y₁），P₂（x₂ ， y₂），且0＜x₁＜x₂＜3，分别过P₁ ， P₂向x轴作垂线，垂足分别为M₁ ， M₂ ，过P₁ ， P₂向y轴作垂线，垂足分别为N₁ ， N₂ ．若记四边形P₁M₁ON₁和四边形P₂M₂ON₂的周长分别为C₁ ， C₂ ，试比较C₁和C₂的大小；并说明理由．

(3)、如图②，若点B关于原点O对称点为C，点Q为双曲线AB段上任一动点，试探究∠ACQ与∠ABQ大小关系，并说明理由．

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20. 如图，四边形OABC为正方形，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象过AB上一点E，BE=2， $\frac{A E}{O E} = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求k的值．

(2)、反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=ax+b过点D及线段AB的中点F，探究直线OF与直线DF的位置关系，并证明．

(3)、点P是直线OF上一点，当PD＋PC的值最小时，求点P的坐标．

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