2023-2024学年北师大版数学九年级上册4.8图形的位似（培优卷）

试卷更新日期：2023-08-01 类型：同步测试

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一、选择题

1. 两个大小不一的五边形 $A B C D E$ 和五边形 $F B C H G$ 如图所示位置，点 $F$ 在线段 $A B$ 上，点 $H$ 在线段 $C D$ 上，对应连接并延长 $A F$ ， $E G$ ， $D H$ 刚好交于一点 $O$ ，则这两个五边形的关系是（）

A、一定相似 B、一定不相似 C、不一定相似 D、不能确定

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2. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 是位似三角形， $O D = 3 O A$ ， $△ A B C$ 的面积为2，则 $△ D E F$ 的面积为（）

A、4 B、6 C、16 D、18

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3. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，点O是位似中心，点A、B的对应点分别为点 $A^{^{'}} 、 B^{^{'}}$ ，若 $O A^{'} = 2 O A$ ，则图形乙的面积是图形甲的面积的（）

A、2倍 B、3倍 C、4倍 D、5倍

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4. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，点O为位似中心.已知 $O A ： A D = 1 ： 1$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 的面积比为（）

A、 $1 ： 2$ B、 $1 ： 4$ C、 $1 ： 8$ D、 $1 ： 16$

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5. 如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中正确的是（）

A、大鱼与小鱼的相似比是 $3 ： 1$ B、小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是 $2 ： 1$ C、大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的4倍 D、若小鱼上一点的坐标是 $(a ， b)$ ，则在大鱼上的对应点的坐标是 $(- 2 b ， - 2 a)$

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6. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 的周长之比是（）

A、1∶2 B、1∶4 C、1∶3 D、1∶9

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7. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，若 $O A ： A D = 2 ： 3$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 的周长比是（）

A、2：3 B、3：2 C、2：5 D、5：2

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8. 一个面积为 $20 c m^{2}$ 的四边形 $A B C D$ ，它的位似图形为四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，位似中心为 $O$ ，若 $O A ： A A^{^{'}} = 1 ： 2$ ，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积为（）

A、 $180 c m^{2}$ B、 $20 c m^{2}$ C、 $180 c m^{2}$ 或 $20 c m^{2}$ D、以上都不对

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9. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，4）、B（2，0），以坐标原点O为位似中心，作与ΔOAB的位似比为 $\frac{1}{2}$ 的位似图形Δ $O A_{1} B_{1}$ ．则A对应的点A₁ ，的坐标（）

A、（1，2） B、(-1，-2) C、( 1，2)或(-1，-2) D、(2，1)或(-2，-1)

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10. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，位似中心为点O， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 的周长之比为 $4 ∶ 9$ ，则 $A O ∶ O D$ 的比为（　　）

A、2：3 B、2：5 C、4：9 D、4：13

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二、填空题

11. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，点O为位似中心，位似比为 $2 ： 3$ ．若 $△ A B C$ 的周长为6，则 $△ D E F$ 的周长是．

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12. 如图，正方形 $O A B C$ 与正方形 $O D E F$ 是位似图形，点O为位似中心，相似比为 $1 ： \sqrt{2}$ ，点D的坐标为 $(0 ， 4)$ ，则点B的坐标为．

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13. 如图，在 ΔABC 中，点 A 的坐标为（ 3，6），以原点 O 为位似中心，将 ΔABC 位似缩小后得到△ A′B′C′ ．若点 A′ 的坐标为（1，2），△ A′B′C′ 的面积为 1，则 ΔABC 的面积为．

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14. 如图， $Δ A B C$ 与 $Δ D E F$ 位似，点O为位似中心，位似比为 $2 ： 3$ ．若 $Δ A B C$ 的周长为4，则 $Δ D E F$ 的周长是．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为 $\frac{1}{3}$ ，点A、B、D在x轴上，若等边△BDE的边长为6，则点C的坐标为．

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三、解答题

16. 放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点， $O D = D A = C B$ ， $D C = A B = B E$ ，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接 $O A$ ， $O E$ ，可证得以下结论：
① $△ O D A$ 和 $△ O C E$ 为等腰三角形，则 $∠ D O A = \frac{1}{2} (180 ° - ∠ O D A)$ ， $∠ C O E = \frac{1}{2}$ （180°-∠            ▲             ）；
②四边形 $A B C D$ 为平行四边形（理由是            ▲            ）；
③ $∠ D O A = ∠ C O E$ ，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当 $\frac{D C}{C B} = \frac{3}{5}$ 时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的            ▲            倍得到的．

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17. 放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．

制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动， $O$ 为固定点， $O D = D A = C B$ ， $D C = A B = B E$ ，在点 $A$ ， $E$ 处分别装上画笔．

画图：现有一图形 $M$ ，画图时固定点 $O$ ，控制点 $A$ 处的笔尖沿图形 $M$ 的轮廓线移动，此时点 $E$ 处的画笔便画出了将图形 $M$ 放大后的图形 $N$ ．

原理：

连接 $O A$ ， $O E$ ，可证得以下结论：

① $△ O D A$ 和 $△ O C E$ 为等腰三角形，则 $∠ D O A = \frac{1}{2} (180 ° - ∠ O D A)$ ， $∠ C O E = \frac{1}{2}$ （180°-∠    ▲    ）；

②四边形 $A B C D$ 为平行四边形（理由是    ▲    ）；

③ $∠ D O A = ∠ C O E$ ，于是可得 $O$ ， $A$ ， $E$ 三点在一条直线上；

④当 $\frac{D C}{C B} = \frac{3}{5}$ 时，图形 $N$ 是以点 $O$ 为位似中心，把图形 $M$ 放大为原来的    ▲    倍得到的．

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18. 如图所示，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 与正方形 $B E F G$ 是以原点 $O$ 为位似中心的位似图形，且相似比为 $1 ： 3$ ，点 $A$ ， $B$ ， $E$ 在 $x$ 轴上．

(1)、若点 $F$ 的坐标为 $(4.5 ， 3)$ ，直接写出点 $C$ 和点 $A$ 的坐标；

(2)、若正方形 $B E F G$ 的边长为 $6$ ，求点 $C$ 的坐标．

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19. 如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点P（点P不与A，B重合），分别连接PD，PC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把P叫四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把P叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”.

解决问题

(1)、如图①，∠A＝∠B＝∠DPC＝50°，试判断点P是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由.

(2)、如图②，在四边形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出四边形ABCD的边BC上的相似点，并写出对应的相似三角形；

(3)、如图③，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝3，CD＝5，AD＝8.点P在边BC上，若点P是四边形ABCD的边BC上的一个强相似点，求BP的长.

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20. 阅读下面材料：
小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值．

请回答：

(1)、如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D ，作出线段CD ，使得CD⊥AB；

(2)、如图2，线段AB与CD交于点O ，小明在点阵中找到了点E ，连接AE ．恰好满足AE⊥CD于E ，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请你帮小明计算：OC＝OF＝；

(3)、参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，线段AB与CD交于点O ．在点阵中找到点E ，连接AE ，满足AE⊥CD于F ．计算： OC＝， OF＝．

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