2023年浙教版数学九年级上册3.2 图形的旋转同步测试（培优版）

试卷更新日期：2023-08-01 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 6 ， 10)$ ， $B (- 6 ， 0)$ ， $C (4 ， 0)$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转一定角度后使 $A$ 落在 $y$ 轴上，与此同时顶点 $C$ 恰好落在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，则该反比例函数表达式为（）

A、 $y = \frac{- 6}{x}$ B、 $y = \frac{- 10}{x}$ C、 $y = \frac{- 15}{x}$ D、 $y = \frac{- 12}{x}$

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2. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， B C = 3 ， C E = 2 B E ， E F = 2$ ，连接 $A F$ ，将线段 $A F$ 绕着点A顺时针旋转 $90 °$ 得到 $A P$ ，则线段 $P E$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{34} - 1$ C、4 D、 $\sqrt{34} - 2$

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3. 如图，正方形ABCD的边长为4， $∠ B C M = 30 °$ ，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值等于（）

A、 $4 \sqrt{2} - 4$ B、 $2 \sqrt{2} - 2$ C、 $2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6} - \sqrt{3}$

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4. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=-x+4 与坐标轴交于 A，B 两点，OC⊥AB 于点 C，P 是线段 OC 上的一个动点，连接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45°，得到线段 AP＇，连接 CP＇，则线段 CP＇的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} - 2$ C、2 D、 $\sqrt{2} - 1$

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5. 如图，二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} - 3$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（）

A、一直增大 B、始终不变 C、先减小后增大 D、先增大后减小

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6. 如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将 $△$ APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到 $△$ AEF．则AE+PB+PC的最小值为（）

A、2 $\sqrt{19}$ B、8 C、5 $\sqrt{3}$ D、6 $\sqrt{2}$

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7. 在平面直角坐标系中，点A（-3，3），B（-4，1），C（-2，1），点M（2，m）绕坐标原点O逆时针旋转90°后，恰好落在△ABC内部（不包括边界），则m的取值范围为（）

A、 $\frac{5}{2}$ <m< $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{8}{3}$ <m< $\frac{11}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ <m< $\sqrt{13}$ D、 $\frac{2 \sqrt{11}}{3}$ <m< $\frac{15}{4}$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针45°后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ，依次方式，将正方形 $O A B C$ 绕点O连续旋转2021次得到正方形 $O A_{2021} B_{2021} C_{2021}$ ，如果点C的坐标为 $(0 ， 1)$ ，那么点 $B_{2021}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \sqrt{2} ， 0)$ C、 $(0 ， - \sqrt{2})$ D、 $(1 ， 0)$

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9. 已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转，……，在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间的距离可能是（）

A、1.4 B、1.1 C、0.8 D、0.5

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10. 如图4，矩形ABCD绕点A逆时针旋转90*得矩形AEFG，连接CF，交AD于点P，M是CF的中点，连接AM，交EF于点Q。则下列结论：

①AM⊥CF；②△CDP≌△AEQ ；③连接PQ，则PQ= $\sqrt{2}$ MQ；④若AB=2，BC=6，则MQ= $\sqrt{5}$ 其中，正确结论的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C < 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A B = 10$ ， $A C = 7$ ， O为 $A C$ 的中点，M为 $B C$ 边上一动点，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转角 $α (0 ° < α \leq 360 °)$ 得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，点M的对应点为 $M^{'}$ ，连接 $O M^{'}$ ，在旋转过程中，线段 $O M^{'}$ 的长度的最小值是．

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12. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = \sqrt{15}$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 的中线，将 $△ A B C$ 绕点A旋转，点B、C的对应点分别是点E、F，如果点F在射线 $C D$ 上，那么 $\frac{S_{Δ A D F}}{S_{Δ A E F}}$ ＝．

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13. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，已知托板长 $A B = 150 mm$ ，支撑板长 $C D = 60 \sqrt{3} mm$ ，托板AB固定在支撑板顶端点 $C$ 处，且 $C B = 60 mm$ ，托板AB可绕点 $C$ 转动，支撑板CD可绕点 $D$ 转动.

(1)、若 $∠ D C B = 90^{°} ， ∠ C D E = 60^{°}$ ，求点 $A$ 到直线DE的距离为.

(2)、为了观看舒适，保持 $∠ D C B = 90^{°}$ ，在(1)的情况下，将CD绕点 $D$ 顺时针旋转，使点 $B$ 落在直线DE上即可，求CD旋转的角度为.

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14. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $M$ 是 $A B$ 上一动点，点 $E$ 是 $C M$ 的中点， $A E$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $E F$ ，连接 $D E$ ， $D F .$ 给出结论： $① D E = E F$ ； $② ∠ C D F = 45 °$ ；③若正方形的边长为2，则点 $M$ 在射线 $A B$ 上运动时， $C F$ 有最小值 $\sqrt{2} .$ 其中结论正确的是．

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15. 如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是．

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16. 如图，“心”形是由抛物线 $y = - x^{2} + 6$ 和它绕着原点O ，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D ，点A ， B是两条抛物线的两个交点，点E ， F ， G是抛物线与坐标轴的交点，则AB= ．

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三、作图题

17. 在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上的任意一点，AB= $2 \sqrt{2}$ ，

(1)、如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF
①把图形补充完整（无需写画法），②求EF²的取值范围；

(2)、如图2，求BE+AE+DE的最小值

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四、综合题

18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的顶点 $A (0 ， 3)$ ， $C (- 1 ， 0) .$ 将矩形 $O A B C$ 绕原点顺时针旋转 $90 °$ ，得到矩形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ ，设直线 $B B^{'}$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ 、与 $y$ 轴交于点 $N$ ，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的图象经过点 $C$ 、 $M$ 、 $N$ .

(1)、点 $B$ 的坐标为，点 $B^{'}$ 的坐标为；

(2)、求抛物线的解析式；

(3)、求 $△ C M N$ 的面积.

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19. 在平面直角坐标系中，已知 $O$ 为坐标原点，点 $A (1 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ．以点 $A$ 为旋转中心，把 $△ A B O$ 顺时针旋转，得 $△ A C D$ ．

(1)、如图①，当旋转后满足 $D C ∥ x$ 轴时，求点C的坐标；

(2)、如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标；

(3)、在（2）的条件下，边OB上的一点 $P$ 旋转后的对应点为 $P^{'}$ 当 $D P + A P^{^{'}}$ 取得最小值时，求点 $P$ 的坐标（直接写出结果即可）．

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20. 将矩形纸片 $A B C O$ 放在平面直角坐标系中，点 $O (0 ， 0)$ ，点 $A (- 8 ， 0)$ ，点 $C (0 ， 6)$ ．现绕点O顺时针旋转矩形纸片 $A B C O$ ，得到新的矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ ，其中A，B，C的对应点分别为 $A^{'} ， B^{'} ， C^{'}$ ．当直线 $B C$ 与直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 有交点时，设交点为D．

(1)、在旋转过程中，判断线段 $C D$ 和 $C^{'} D$ 的数量关系，并以图①为例说明理由；

(2)、在旋转过程中，当点 $A^{'}$ 落在线段 $B C$ 上时（如图②），直接写出点 $A^{'}$ 的坐标；

(3)、在旋转过程中，若线段 $A^{'} O$ 恰好过线段 $B C$ 中点E时（如图③），求线段 $C D$ 的长；

(4)、在旋转过程中，当线段 $A^{'} O$ 与线段 $B C$ 的交点M恰好是线段 $B D$ 中点时（如图④），请直接写出点M和点D的坐标．

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21. 探究题∶

(1)、特殊情景：如图（1），在四边形ABCD中，AB=AD，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF= $\frac{1}{2}$ ∠BAD，连接EF，若∠BAD=∠B=∠D=90°，探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由

(2)、类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“∠BAD=∠B=∠D=90°”改成一股情况“∠BAD=α ， ∠B+∠D=180°，”如图（2），小明猜想：线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你写出结论；若不成立，请你写出成立时α的取值范围．

(3)、解决问题：如图（3），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD= $\sqrt{2}$ ，计算DE的长度．

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22. 如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．

(1)、将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；

(2)、将图1中的三角尺绕点O按每秒6°的速度绕点O沿顺时针方向旋转一周，OC也以每秒1°的速度绕点O顺时针方向旋转，当三角尺停止运动时，OC也停止运动．
①在旋转的过程中，问运动几秒时，边MN恰好与射线OC平行；
②将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系（直接写出结果）．

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2023年浙教版数学九年级上册3.2 图形的旋转 同步测试（培优版）

一、选择题

二、填空题

三、作图题

四、综合题

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