江西省新余市分宜县2022-2023学年八年级下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-07-31 类型：期末考试

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一、单选题

1. 以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、等腰三角形 B、平行四边形 C、矩形 D、等边三角形

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2. 已知两组数据x₁ ， x₂ ， x₃和x₁+1，x₂+1，x₃+1，则这两组数据没有改变大小的统计量是（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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3. 如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B坐标是(4，1)，点D坐标是(0，1)，点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（　　）

A、8 B、2 $\sqrt{5}$ C、4 $\sqrt{5}$ D、12

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4. 如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形 $A B C D$ 的边上有一动点 $P$ 沿 $A \to B \to C \to D \to A$ 运动一周，则 $P$ 的纵坐标 $y$ 与点 $P$ 走过的路程 $s$ 之间的函数关系用图象表示大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，在长方体 $A B C D - E F G H$ 盒子中，已知 $A B = 4 c m ， B C = 3 c m ， C G = 5 c m$ ，长为 $10 c m$ 的细直木棒 $I J$ 恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面 $A B C D$ 接触，当木棒的端点I在长方形 $A B C D$ 内及边界运动时， $G J$ 长度的最小值为（）

A、 $(10 - 5 \sqrt{2}) c m$ B、 $3 c m$ C、 $(10 - 4 \sqrt{2}) c m$ D、 $5 c m$

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6. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为6，点 $E$ 是 $B C$ 上的一点，连接 $A E$ 并延长，交射线 $D C$ 于点 $F$ ，将 $△ A B E$ 沿直线 $A E$ 翻折，点 $B$ 落在点 $N$ 处， $A N$ 的延长线交 $D C$ 于点 $M$ ，当 $A B = 2 C F$ 时，则 $N M$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{4}$

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二、填空题

7. 在平面镜中看到一辆汽车的车牌号：，则该汽车的车牌号是．

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8. 若 $a$ ， $b$ 都是实数， $b = \sqrt{1 - 2 a} + \sqrt{2 a - 1} - 3$ ，则 $a^{b}$ 的值为．

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9. 已知x＝ $\sqrt{5}$ +1，则x²﹣2x﹣3＝．

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10. 如图，直线 $y = \frac{2}{3} x + 6$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ 和点 $B$ ，点 $C$ 、 $D$ 分别为线段 $A B$ 、 $O B$ 的中点，点 $P$ 为 $O A$ 上一动点，当 $P C + P D$ 最小时，点 $P$ 的坐标为．

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11. 如图所示的网格是正方形网格，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 是网格线交点，则 $∠ B A C - ∠ D A E$ 的为度．

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12. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，有一个锐角为 $60 °$ ， $A B = 6$ ，若点 $P$ 在直线 $A B$ 上（不与点 $A$ ， $B$ 重合），且 $∠ P C B = 30 °$ ，则 $A P$ 的长为．

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三、解答题

13.

(1)、计算： $\sqrt{12} + | - 4 | - \sqrt{3} \times {(2023 - π)}^{0} - {(2 + \sqrt{3})}^{2023} \times {(2 - \sqrt{3})}^{2022}$ ；

(2)、先化简，再求值： $(a + 2 - \frac{5}{a - 2}) \div \frac{3 - a}{2 a - 4}$ ，其中 $a$ 为满足 $0 < a < 4$ 的整数．

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14. 如图，在边长为 $4$ 的等边 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 分别为 $A B$ 、 $B C$ 的中点， $E F ⊥ A C$ 于点 $F$ ， $G$ 为 $E F$ 的中点，连接 $D G$ ．

(1)、求 $E F$ 的长．

(2)、求 $D G$ 的长．

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15. 阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数 $x$ “四舍五入”到个位的值记为 $⟨ x ⟩$ ，即：当 $n$ 为非负整数时，如果 $n - \frac{1}{2} \leq x < n + \frac{1}{2}$ ，则 $⟨ x ⟩ = n$ ；反之，当 $n$ 为非负整数时，如果 $⟨ x ⟩ = n$ ，则 $n - \frac{1}{2} \leq x < n + \frac{1}{2}$ ．例如： $⟨ 0.1 ⟩ = ⟨ 0.49 ⟩ = 0$ ， $⟨ 1.51 ⟩ = ⟨ 2.48 ⟩ = 2$ ， $⟨ 3 ⟩ = 3$ ， $⟨ 4.5 ⟩ = ⟨ 5.25 ⟩ = 5$ ， …，试解决下列问题：

(1)、① $⟨ π + 3.4 ⟩ =$ （ $π$ 为圆周率）；
②如果 $⟨ x - 1 ⟩ = 2$ ，则数 $x$ 的取值范围为；

(2)、求出满足 $⟨ x ⟩ = \frac{3}{4} x + \frac{5}{4}$ 的 $x$ 的取值范围．

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16. 已知正方形 $A B C D$ ， $P$ 是 $C D$ 的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）

(1)、在图①中，画 $P Q ⊥ A B$ ，垂足为 $Q$ ；

(2)、在图②中，画 $B H ⊥ A P$ ，垂足为 $H$ ．

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17. 如图， $A$ 为 $(0 ， 3)$ ，过 $A$ 点的一次函数的图象与正比例函数 $y = 2 x$ 的图象相交于点 $B$ ．

(1)、求该一次函数的解析式．

(2)、该一次函数与 $x$ 轴交于点 $D$ ，若点 $P$ 为直线 $O B$ 上的动点，当 $△ O D P$ 面积等于 $△ B O D$ 面积的 $\frac{1}{3}$ 时，求点 $P$ 的坐标．

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18. 如图，已知 $B (- 1 ， 0)$ ， $C (1 ， 0)$ ， $A$ 为 $y$ 轴正半轴上一点，点 $D$ 为第二象限一动点， $E$ 在 $B D$ 的延长线上， $C D$ 交 $A B$ 于 $F$ ，且 $∠ B D C = ∠ B A C$ ．

(1)、求证： $D A$ 平分 $∠ C D E$ ；

(2)、若在 $D$ 点运动的过程中，始终有 $D C = D A + D B$ ，在此过程中， $∠ B A C$ 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 $∠ B A C$ 的度数？

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19. 星火体育用品店销售甲、乙两种品牌篮球，其中甲品牌篮球的进价为90元/个，售价为130元/个，乙品牌进价为70元/个，售价为100元/个．现计划用不超过8080元购进甲、乙两种品牌篮球共92个，其中甲品牌篮球不少于58个，设购进甲品牌篮球 $x$ 个，总利润为 $w$ 元．

(1)、求甲品牌篮球最多购进多少个？

(2)、该体育用品店对甲品牌篮球每个降价 $a (0 < a < 15)$ 元，乙品牌篮球价格不变，如果这92个篮球全部售完，那么该店如何进货才能获得最大利润？

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20. 观察下列各式．
      $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$
      $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$
      $(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$
…
请根据你发现的规律完成下列各题：

(1)、根据规律可得 $(x - 1) (x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + x + 1) =$ ；（其中 $n$ 为正整数）

(2)、计算： $(3 - 1) \times (3^{50} + 3^{49} + 3^{18} + \cdot \cdot \cdot + 3^{2} + 3 + 1)$ ．（结果保留幂的形式）

(3)、计算： $2^{2023} - 2^{2022} + 2^{2021} - 2^{2020} + \cdot \cdot \cdot + 2 - 1$ ．（结果保留幂的形式）

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21. 最近，由于甲市疫情严重，全国各地纷纷支援，乙市积极开展爱心物资捐赠活动，并派遣志愿者去甲市服务．某日，装满物资的货车比乘载志愿者的客车提前半小时出发，它们离乙市的距离y（km）与货车行驶的时间x（h）之间的函数图象如图所示．

(1)、甲、乙两市之间的距离为 $k m$ ，货车的速度为 $k m / h$ ；

(2)、请求出 $A C$ 段 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式及点 $B$ 的坐标，并解释交点 $B$ 的实际意义；

(3)、请直接写出在客车行驶过程中两车相距 $20 k m$ 时对应 $x$ 的值．

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22.

(1)、如图1， $A (0 ， a)$ ， $B (b ， 0)$ ．若a，b满足 $2 a^{2} + b^{2} + 2 a b - 4 a + 4 = 0$ ，求A、B的坐标．

(2)、在（1）的条件下，点C为线段AB上的一点， $A E ⊥ O C$ ， $B F ⊥ O C$ ，垂足分别为E、F、若 $A E = m$ ， $B F = n$ ， $m - n = 1$ ，求线段EF的长．

(3)、如图2， $A (0 ， a)$ ， $B (b ， 0)$ ，点P为 $△ A B O$ 的角平分线的交点，若a，b满足 $a + b = 0$ ， $P N ⊥ P A$ 交x轴于N，延长OP交AB于M，直接写出AB、ON、PM之间的数量关系（不需要写出证明过程）．

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23. 我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．

(1)、在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美"四边形的是（请填序号）；

(2)、在“完美”四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，连接 $A C$ ．

①如图1，求证： $A C$ 平分 $∠ B C D$ ；

小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明 $A C$ 平分 $∠ B C D$ ：

想法一：通过 $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，可延长 $C B$ 到 $E$ ，使 $B E = C D$ ，通过证明 $Δ A E B ≌ Δ A C D$ ，从而可证 $A C$ 平分 $∠ B C D$ ；

想法二：通过 $A B = A D$ ，可将 $Δ A C D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，使 $A D$ 与 $A B$ 重合，得到 $Δ A E B$ ，可证 $C$ ， $B$ ， $E$ 三点在一条直线上，从而可证 $A C$ 平分 $∠ B C D$ ．

请你参考上面的想法，选择其中一种想法帮助小明证明 $A C$ 平分 $∠ B C D$ ；

②如图2，当 $∠ B A D = 90 °$ 时，用等式表示线段 $A C$ ， $B C$ ， $C D$ 之间的数量关系，并证明．

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