四川省雅安市2023年中考数学真题

试卷更新日期：2023-07-31 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 在0， $\frac{1}{2}$ ， $- \sqrt{3}$ ， 2四个数中，负数是（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、2

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2. 计算 $2^{0} - 1$ 的结果是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、19

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3. 如图，是由3个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图， $A B ∥ C D$ ， $A C ⊥ B C$ 于点C， $∠ 1 = 65 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $25 °$ C、 $35 °$ D、 $45 °$

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5. 若 $m^{2} + 2 m - 1 = 0$ ．则 $2 m^{2} + 4 m - 3$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、 $- 5$ C、5 D、 $- 3$

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6. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a + 3 b = 5 a b$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}$ D、 $a^{3} \div a = a^{2}$

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7. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 \geq 0 \\ \frac{x - 1}{2} < 1 \end{array}$ 的解集是（）

A、 $- 1 < x < 1$ B、 $- 1 \leq x < 1$ C、 $- 1 < x \leq 3$ D、 $- 1 \leq x < 3$

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8. 如图，某小区要绿化一扇形 $O A B$ 空地，准备在小扇形 $O C D$ 内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得 $∠ A O B = 120 °$ ， $O A = 15 m$ ， $O C = 10 m$ ，则种草区域的面积为（）

A、 $\frac{25 π}{3} m^{2}$ B、 $\frac{125 π}{3} m^{2}$ C、 $\frac{250 π}{3} m^{2}$ D、 $\frac{125}{3} m^{2}$

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9. 某位运动员在一次射击训练中， $10$ 次射击的成绩如图，则这10次成绩的平均数和中位数分别是（）

A、 $9.7$ ， $9.5$ B、 $9.7$ ， $9.8$ C、 $9.8$ ， $9.5$ D、 $9.8$ ， $9.8$

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10. 在平面直角坐标系中．将函数 $y = x$ 的图象绕坐标原点逆时针旋转 $90 °$ ，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（）

A、 $y = - x + 1$ B、 $y = x + 1$ C、 $y = - x - 1$ D、 $y = x - 1$

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11. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，F是 $A D$ 上一点， $C F$ 交 $B D$ 于点E， $C F$ 的延长线交 $B A$ 的延长线于点G， $E F = 1$ ， $E C = 3$ ，则 $G F$ 的长为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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12. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于 $A (- 2 ， 0)$ ， B两点，对称轴是直线 $x = 2$ ，下列结论中，① $a > 0$ ；②点B的坐标为 $(6 ， 0)$ ；③ $c = 3 b$ ；④对于任意实数m，都有 $4 a + 2 b \geq a m^{2} + b m$ ，所有正确结论的序号为（）

A、①② B、②③ C、②③④ D、③④

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二、填空题

13. 在一个不透明的口袋中，装有1个红球若干个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为 $\frac{1}{4}$ ，则此口袋中白球的个数为.

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14. 若 $a + b = 2$ ， $a - b = 1$ ，则 $a^{2} - b^{2}$ 的值为．

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15. 已知关于x的方程 $x^{2} + m x - 4 = 0$ 的一个根为1，则该方程的另一个根为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = B C = 6$ ． P为边 $A B$ 上一动点，作 $P D ⊥ B C$ 于点D， $P E ⊥ A C$ 于点E，则 $D E$ 的最小值为．

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17. 如图．四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $B C = D C$ ， $∠ C = 60 °$ ， $A E ∥ C D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $B C = 8$ ， $A E = 6$ ，则AB的长为．

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三、解答题

18.

(1)、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(\sqrt{2})}^{2} - 4 × | - \frac{1}{2} |$

(2)、先化简，再求值： $(1 + \frac{4}{a - 1}) ÷ \frac{a^{2} + 6 a + 9}{a^{2} - a}$ ．其中 $a = 2$

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19. 某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩/分
频数/人
频率
          $60 \leq x < 70$
10
0.1
          $70 \leq x < 80$
15
b
          $80 \leq x < 90$
a
0.35
          $90 \leq x \leq 100$
40
c

请根据图表信息解答下列问题：

(1)、求a，b，c的值；

(2)、补全频数直方图；

(3)、某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．

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20. 如图，已知 $E$ ， $F$ 是 $▱ A B C D$ 对角线 $A C$ 上两点， $A E = C F$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C D F$ ；

(2)、若 $C H ⊥ A B$ 交 $A B$ 的延长线于点 $H$ ， $\frac{C H}{B H} = 3 ， B C = \sqrt{10} ， t a n ∠ C A B = \frac{3}{4}$ ，求 $▱ A B C D$ 的面积．

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21. 李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名
甲蔬菜
乙蔬菜
批发价/（元/kg）
          $4.8$
          $4$
零售价/（元/kg）
          $7.2$
          $5.6$

(1)、若他批发甲、乙两种蔬菜共 $40 k g$ 花 $180$ 元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）

(2)、若他批发甲、乙两种蔬菜共 $80 k g$ 花m元，设批发甲种蔬菜 $n k g$ ，求m与n的函数关系式；

(3)、在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于 $176$ 元，至少批发甲种蔬菜多少千克？

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22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $O A B C$ 是边长为 $2$ 的正方形．点 $A$ ， $C$ 在坐标轴上．反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $B$ ．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2， $S_{△ O B D} = 3$ ．求直线 $B D$ 的函数表达式．

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23. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $A C$ 交于点D，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，连接 $B D$ ， $D E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D E = 2$ ， $t a n ∠ B A C = \frac{1}{2}$ ，求 $A D$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，点P是 $⊙ O$ 上一动点，求 $P A + P B$ 的最大值．

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24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 过点 $A (0 ， 2)$ ，对称轴是直线 $x = 2$ ．

(1)、求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；

(2)、若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当 $△ B C M$ 是等边三角形时，求出此三角形的边长；

(3)、已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为 $(1 ， - 1)$ 是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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成绩/分	频数/人	频率
$60 \leq x < 70$	10	0.1
$70 \leq x < 80$	15	b
$80 \leq x < 90$	a	0.35
$90 \leq x \leq 100$	40	c

品名	甲蔬菜	乙蔬菜
批发价/（元/kg）	$4.8$	$4$
零售价/（元/kg）	$7.2$	$5.6$