2023-2024学年北师大版数学九年级上册4.5相似三角形判定定理的证明（培优卷）

试卷更新日期：2023-07-31 类型：同步测试

进入出卷网下载

一、选择题

1. 如图是一张矩形纸片 $A B C D$ ，点E是 $A D$ 中点，点F在 $B C$ 上，把该纸片沿 $E F$ 折叠，点A、B的对应点分别为 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ ， $A^{'} E$ 与 $B C$ 相交于点G， $B^{'} A^{'}$ 的延长线经过点C.若 $\frac{B F}{G C} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{A D}{A B}$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

查看试题解析
2. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $G$ 是边 $B C$ 的三等分点 $(B G < G C)$ ，点 $H$ 是边 $C D$ 的中点，线段 $A G$ ， $A H$ 与对角线 $B D$ 分别交于点 $E$ ， $F$ .设矩形 $A B C D$ 的面积为 $S$ ，则以下4个结论中：① $F H ： A F = 1 ： 2$ ；② $B E ： E F ： F D = 3 ： 5 ： 4$ ；③ $S_{1} + S_{2} + S_{3} = \frac{1}{3} S$ ；④ $S_{6} = S_{2} + S_{5}$ .正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析
3. 在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且DE＝1，将△ADE沿AE对折到△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.下列结论，其中正确的有（　　）个.

（1）CG＝FG；（2）∠EAG＝45°；（3）S_△EFC＝ $\frac{3}{5}$ ；（4）CF＝ $\frac{1}{2}$ GE

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析
4. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且 $A B = 3 B E$ ．过点B作 $B F ⊥ A E$ ，交边CD于点F．以C为圆心，CF长为半径画圆，交边BC于点G，连接DG，交BF于点H．则 $D H ： H G =$ （）

A、10：3 B、3：1 C、8：3 D、5：3

查看试题解析
5. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．点P，Q分别为AB，GH的中点，若PQ恰好经过点F，则 $\frac{A B}{E F}$ 的值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{3}$ B、3 C、 $\sqrt{13}$ D、4

查看试题解析
6. 如图，正方形 $A B C D$ 中，E为 $B C$ 的中点， $C G ⊥ D E$ 于G，延长 $B G$ 交 $C D$ 于点F，延长 $C G$ 交 $B D$ 于点H，交 $A B$ 于N下列结论：① $D E = C N$ ；② $\frac{B H}{B D} = \frac{1}{3}$ ；③ $S_{Δ D E C} = 3 S_{Δ B N H}$ ；④ $∠ B G N = 45 °$ ；⑤ $G N + E G = \sqrt{2} B G$ ；其中正确结论的个数有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

查看试题解析
7. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的边长为4，E是 $B C$ 的中点， $A F$ 平分 $∠ E A D$ 交 $C D$ 于点F ， $F G ∥ A D$ 交 $A E$ 于点G ，若 $A B = A E$ ，则 $F G$ 的长是（　　）

A、3 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

查看试题解析
8. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $G$ 是 $B C$ 上一点，且 $\frac{G C}{B G} = \frac{1}{2}$ ，连接 $D G$ 交对角线 $A C$ 于 $F$ 点，过 $D$ 点作 $D E ⊥ D G$ 交 $C A$ 的延长线于点 $E$ ，若 $A E = 5$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{5 \sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$

查看试题解析
9. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，过点 $G$ 作GD的垂线交AB于点 $I$ ，若 $G I = \frac{4}{3} G D$ ，则 $\frac{E H}{A D}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

查看试题解析
10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 120 °$ ， $A B = A C = 6$ ，点 $D$ 在 $A B$ 上，过点 $D$ 作 $D E / / B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，现将 $△ A D E$ 沿着 $D E$ 所在的直线折叠，使得点 $A$ 落在点 $A'$ 处， $A' D$ ， $A' E$ 分别交 $B C$ 于点 $F$ 、 $G .$ 若 $F G$ ： $D E = 1$ ： $2$ ，则图中阴影部分的周长为（）

A、 $3 \sqrt{3} + 6$ B、 $4 \sqrt{3} + 8$ C、 $6 \sqrt{3} + 4$ D、 $8 \sqrt{3}$

查看试题解析

二、填空题

11. 如图，面积为4的正方形 $A B C D$ 中， $E F G H$ 分别是各边的中点，将一边两端点分别和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是.

查看试题解析
12. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，点E是边AB上一动点(不与点A、B重合)，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF，当△ADF是等腰三角形时，AE的长为.

查看试题解析
13. 如图，四边形ABCD是正方形，AB=6，E是BC的中点，连接DE，DE的垂直平分线分别交AB、DE、CD于点M、O、N，连接EN，过E作EF⊥EN交AB于点F，则AF的长为．

查看试题解析
14. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 12$ ，点E为AC中点．点D在AC右侧， $D E ⊥ A C$ ，且 $∠ D A E = ∠ B A C$ ，射线BE交AD于点F，若 $△ D E F$ 为等腰三角形，则线段EF的长为．

查看试题解析
15. 图1是某个零件横截面的示意图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，为了求出BC的长度，小艺将一根直尺按图2，图3，图4的三种方式摆放，所测得的具体数据（单位：cm）如图所示，则直尺宽为 cm，BC为 cm．

查看试题解析

三、解答题

16. 如图（图形不全），等边三角形 $A B C$ 中， $A B = 3$ ，点 $D$ 在直线 $B C$ 上，点 $E$ 在直线 $A C$ 上，且 $∠ B A D = ∠ C B E$ ，当 $B D = 1$ 时，求 $A E$ 的长．
几位同学通过探究得出结论：此题有多种结果．有同学已经得出两个符合题意结论：①当点 $D$ 在边 $B C$ 上、点 $E$ 在边 $A C$ 上时， $A E = 2$ ；②当点 $D$ 在边 $B C$ 上、点 $E$ 在 $A C$ 的延长线上时， $A E = \frac{9}{2}$ ．

要求：请针对其它情况，继续求出 $A E$ 的长，并写出总的正确结论．

查看试题解析
17. 如图， $E$ 是矩形 $A B C D$ 的边 $C B$ 上的一点， $A F ⊥ D E$ 于点 $F$ ， $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $C E = 1$ ．求 $D F$ 的长度．

查看试题解析
18. 如图，在 $Δ A B C$ 中，AB=AC，D、E、B、C在同一条直线上，且 $A B^{2} = B D • C E$ .求证： $Δ A B D$ ∽ $Δ E C A$ .

查看试题解析
19. 在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．

发现：如图1，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，易得 $\frac{A P}{P D}$ 的值为 ▲ ．
解决问题：如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC=1：2．求 $\frac{A P}{P D}$ 的值：
应用：若CD=2，AC=6，则BP= ▲ ．

查看试题解析
20. 如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．

(1)、猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；

(2)、现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)、若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．

查看试题解析