2023-2024学年北师大版数学九年级上册4.4探索三角形相似的条件（培优卷）

试卷更新日期：2023-07-31 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（）

A、△COF∽△CEG B、OC=3OF C、AB：AD=4：3 D、GE= $\sqrt{6}$ DF

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2. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）

A、(6，5) B、(6，0) C、(6，4) D、(4，2)

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3. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S₁ ，矩形BCIH的面积为S₂ ，则S₁ 与S₂的大小关系是（）

A、 B、 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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4. 下列说法中正确的是（）

A、两个直角三角形相似 B、两个等腰三角形相似 C、两个等边三角形相似 D、两个锐角三角形相似

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5. 在学习画线段 $A B$ 的黄金分割点时，小明过点B作 $A B$ 的垂线 $B C$ ，取 $A B$ 的中点M，以点B为圆心， $B M$ 为半径画弧交射线 $B C$ 于点D，连接 $A D$ ，再以点D为圆心， $D B$ 为半径画弧，前后所画的两弧分别与 $A D$ 交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交 $A B$ 于点H，点H即为 $A B$ 的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（）

A、 $A F$ B、 $D F$ C、 $A E$ D、 $D E$

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6. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， A C$ 与 $B D$ 相交于点O，则下列三角形中，与 $△ A O D$ 一定相似的是（）

A、 $△ B O C$ B、 $△ A O B$ C、 $△ D O C$ D、 $△ A B C$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，点Р在边 $A B$ 上，则在下列四个条件中：① $∠ A C P = ∠ B$ ；② $∠ A P C = ∠ A C B$ ；③ $A C^{2} = A P \cdot A B$ ；④ $A B \cdot C P = A P \cdot C B$ ，能满足 $△ A P C$ 与 $△ A C B$ 相似的条件以及性质的是（）

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③

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8. 如图，点P在 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上，添加如下一个条件后，仍不能得到 $△ A B P ∽ △ A C B$ 的是（）

A、 $\frac{A B}{B P} = \frac{A C}{C B}$ B、 $∠ A P B = ∠ A B C$ C、 $\frac{A P}{A B} = \frac{A B}{A C}$ D、 $∠ A B P = ∠ C$

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9. 如图所示，网格中相似的两个三角形是（）

A、①与② B、①与③ C、③与④ D、②与③

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10. 已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 78 ° ， A B = 4 ， A C = 6$ ，则下列选项中阴影部分的三角形与原 $△ A B C$ 不相似的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E分别为边 $A B$ ， $A C$ 上的点，试添加一个条件：，使得 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 相似．（任意写出一个满足条件的即可）

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12. 如图，要使 $△ P Q R ∽ △ P N M$ ，则需添加一个适当的条件是（添一个即可）．

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13. 若线段AB＝10，且点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，则BC的长为．

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14. 同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若 $\frac{B C}{\sqrt{n} A C} = \frac{\sqrt{n} A C}{A B}$ ＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若 $\frac{B C}{\sqrt{2} A C} = \frac{\sqrt{2} A C}{A B}$ ＝k₂ ，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若 $\frac{B C}{\sqrt{3} A C} = \frac{\sqrt{3} A C}{A B}$ ＝k₃ ，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k₆＝．

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15. 如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形， $\frac{A B}{A D} = \frac{C E}{D E}$ ，现将矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形 $A E C^{'} B^{'}$ ，连接BB′，若AB＝2，则线段 $B B^{'}$ 的长度为.

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三、解答题

16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 8 ， A C = 4$ ， D是 $B C$ 边上一点， $C D = 2$ .求证 $△ A B C ∽ D A C$ .

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17. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．

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18. 如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO＝∠C．求证：△AOB∽△DOC．

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19. 在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 为对角线， $A C = A B = B C$ ， $B E ⊥ A C$ 于点E， $C D = B E = \sqrt{3}$ ， $A D = 1$ ．

(1)、如图1，求证： $∠ A D C = 90 °$ ；

(2)、如图2，延长 $B E$ ，交 $A D$ 边的延长线于点F，交 $C D$ 边于点G，连接 $C F ， D E$ ，在不添加任何字母和辅助线的条件下，请直接写出图中与 $△ A B F$ 相似，但不全等的三角形．

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20. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．

(1)、若AB＝10，求FD的长；

(2)、若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．

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