2023-2024学年北师大版数学九年级上册4.3相似多边形（培优卷）

试卷更新日期：2023-07-31 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 是正方形 $A B C D$ 边上的点，且 $A G = B E = C H = D F$ ， $E F$ 和 $G H$ 将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形 $M Q P N$ ，若正方形 $A B C D$ 和四边形 $M Q P N$ 的面积之比为 $9 ： 10$ ，则 $A G ： G D =$ （）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{5}$

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2. 如图，点P是平行四边形 $A B C D$ 内部一点，过P分别作 $A B$ 和 $B C$ 的平行线交平行四边形 $A B C D$ 的四边于 $E ， F ， G ， H$ . 连结 $A C$ 分别交 $E G ， F H$ 于M和N. 若四边形 $F B G P ~$ 四边形 $E P H D$ ，且四边形 $F B C H$ 的面积是四边形 $A F P \overset{'}{E}$ 的3倍. 下列选项正确的是（　　）

A、 $E P = P H$ B、 $A N = E P$ C、 $A N = 2 M N$ D、 $A M = 2 C M$

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3. 如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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4. 如图，在平行四边形 $F B C E$ 中，点 $J ， G$ 分别在边 $B C ， E F$ 上， $J G ∥ B F$ ，四边形 $A B C D ∼$ 四边形 $H G F A$ ，相似比 $k = 3$ ，则下列一定能求出 $△ B I J$ 面积的条件（）

A、四边形 $H D E G$ 和四边形 $A H G F$ 的面积之差 B、四边形 $A B C D$ 和四边形 $H D E G$ 的面积之差 C、四边形 $A B C D$ 和四边形 $A D E F$ 的面积之差 D、四边形 $J C D H$ 和四边形 $H D E G$ 的面积之差

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5. 一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形 $A B C D \sim$ 矩形 $B E F G$ .设矩形 $A B C D$ 与矩形 $A H I E$ 的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（）

A、 $4 m$ B、 $2 m + 3 n$ C、 $m + 3 n$ D、 $3 m + n$

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6. 两相似多边形的面积比是 $9 ： 16$ ，较小多边形的周长为 $18 c m$ ，则较大多边形的周长为（）

A、 $24 c m$ B、 $27 c m$ C、 $28 c m$ D、 $32 c m$

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7. 如图所示，已知矩形 $A B C D$ 的边 $A D$ 长为8cm，边 $A B$ 长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（）

A、21cm² B、24cm² C、27cm² D、30cm²

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8. 两个相似多边形的相似比是3：4，其中小多边形的面积为18cm² ，则较大多边形的面积为（）

A、16cm² B、54cm² C、32cm² D、48cm²

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9. 如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为 $8 c m$ ，则剩下的小矩形的较短边长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $5 \sqrt{5} - 8$ C、 $4 \sqrt{5} - 4$ D、 $12 - 4 \sqrt{5}$

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二、填空题

11. 如图所示，复印纸的型号有A₀ ， A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A₃）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A₄）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为．

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12. 如图，四边形 $A B C D ∽$ 四边形 $E F G H$ ，若 $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $E F = 4$ ，则FG的长为．

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13. 如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝．

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14. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 ° ， A B = a$ ，点E、F是对角线 $B D$ 上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接 $A E 、 E C 、 A F 、 C F ，$ 若四边形 $A E C F$ 是菱形，且与菱形 $A B C D$ 是相似菱形，那么菱形 $A E C F$ 的边长是．（用a的代数式表示）．

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15. 如图，把一个长方形划分成三个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形应满足 $AD ： CD$ = ．

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三、解答题

16. 学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的 $\frac{25}{36}$ ，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度.

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17. 如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F．求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．

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18. 已知四边形ABCD与四边形A₁B₁C₁D₁相似，且A₁B₁：B₁C₁：C₁D₁：D₁A₁=7：8：11：14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD各边的长．

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19. 如图，菱形ABCD中，对角线AC ， BD相交于点O ，且AC=6cm，BD=8cm，动点P ， Q分别从点B ， D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B运动，到点O停止1s后继续运动，到点B停止，连接AP ， AQ ， PQ ．设△APQ的面积为y（cm²）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）．

(1)、填空：AB=cm，AB与CD之间的距离为 cm；

(2)、当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；

(3)、直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．

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20. 如图，把一个矩形 $A B C D$ 划分成三个全等的小矩形.

(1)、若原矩形 $A B C D$ 的长 $A B = 6$ ，宽 $B C = 4$ .问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.

(2)、若原矩形的长 $A B = a$ ，宽 $B C = b$ ，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长 $a$ 与宽 $b$ 应满足的关系式.

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