2023年湖南省中考数学真题分类汇编：圆

试卷更新日期：2023-07-30 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合右图，其大意是：今有圆形材质，直径 $B D$ 为25寸，要做成方形板材，使其厚度 $C D$ 达到7寸．则 $B C$ 的长是（）

A、 $\sqrt{674}$ 寸 B、25寸 C、24寸 D、7寸

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二、填空题

2. 如图，点A，B，C在半径为2的 $⊙ O$ 上， $∠ A C B = 60 °$ ， $O D ⊥ A B$ ，垂足为E，交 $⊙ O$ 于点D，连接 $O A$ ，则 $O E$ 的长度为．

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3. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点 $P$ 处安装了一台监视器，它的监控角度是 $55 °$ ，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台．

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4. 如图，某数学兴趣小组用一张半径为 $30 c m$ 的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为 $8 c m$ ，那么这张扇形纸板的面积为 $c m^{2}$ ．（结果保留 $π$ ）

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5. 如图， $A D$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦， $B C$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ，连接 $O B$ ，若 $∠ A B C = 65 °$ ，则 $∠ B O D$ 的大小为．

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6. 如图所示，点A、B、C是 $⊙ O$ 上不同的三点，点O在 $△ A B C$ 的内部，连接 $B O$ 、 $C O$ ，并延长线段 $B O$ 交线段 $A C$ 于点D．若 $∠ A = 60 ° ， ∠ O C D = 40 °$ ，则 $∠ O D C =$ 度．

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7. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为直径， $B D$ 为弦，点 $C$ 为 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，以点 $C$ 为切点的切线与 $A B$ 的延长线交于点 $E$ ．

(1)、若 $∠ A = 30 ° ， A B = 6$ ，则 $\overset{⌢}{B D}$ 的长是（结果保留 $π$ ）；

(2)、若 $\frac{C F}{A F} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{C E}{A E} =$ ．

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三、综合题

8. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 是直径，点 $C$ 是圆上一点．在 $A B$ 的延长线上取一点 $D$ ，连接 $C D$ ，使 $∠ B C D = ∠ A$ ．

(1)、求证：直线 $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ A C D = 120 °$ ， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积（结果用含 $π$ 的式子表示）．

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9. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是一条弦，D是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点， $D E ⊥ A B$ 于点E，交 $A C$ 于点F，交 $⊙ O$ 于点H， $D B$ 交 $A C$ 于点G．

(1)、求证： $A F = D F$ ．

(2)、若 $A F = \frac{5}{2} ， s i n ∠ A B D = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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10. 如图，点A，B，C在 $⊙ O$ 上运动，满足 $A B^{2} = B C^{2} + A C^{2}$ ，延长 $A C$ 至点D，使得 $∠ D B C = ∠ C A B$ ，点E是弦 $A C$ 上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦 $A B$ 的垂线，交 $A B$ 于点F，交 $B C$ 的延长线于点N，交 $⊙ O$ 于点M（点M在劣弧 $\overset{⌢}{A C}$ 上）．

(1)、 $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；

(2)、记 $△ B D C ， △ A B C ， △ A D B$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S$ ，若 $S_{1} \cdot S = {(S_{2})}^{2}$ ，求 ${(t a n D)}^{2}$ 的值；

(3)、若 $⊙ O$ 的半径为1，设 $F M = x$ ， $F E \cdot F N \cdot \sqrt{\frac{1}{B C \cdot B N} + \frac{1}{A E \cdot A C}} = y$ ，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

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11. 如图所示，四边形 $A B C D$ 是半径为R的 $⊙ O$ 的内接四边形， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ A B D = 45 °$ ，直线l与三条线段 $C D$ 、 $C A$ 、 $D A$ 的延长线分别交于点E、F、G．且满足 $∠ C F E = 45 °$ ．

(1)、求证：直线 $l ⊥$ 直线 $C E$ ；

(2)、若 $A B = D G$ ；
①求证： $△ A B C ≌ △ G D E$ ；
②若 $R = 1 ， C E = \frac{3}{2}$ ，求四边形 $A B C D$ 的周长．

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12. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 是 $⊙ O$ 外一点， $P A$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上的一点．连接 $P C$ 、 $A C$ 、 $O C$ ，且 $P C = P A$ ．

(1)、求证： $P C$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、延长 $P C$ 与 $A B$ 的延长线交于点D，求证： $P D \cdot O C = P A \cdot O D$ ；

(3)、若 $∠ C A B = 30 ° ， O D = 8$ ，求阴影部分的面积．

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