2023年湖南省中考数学真题分类汇编：四边形、命题与证明

试卷更新日期：2023-07-30 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列命题正确的是（）

A、正方形的对角线相等且互相平分 B、对角互补的四边形是平行四边形 C、矩形的对角线互相垂直 D、一组邻边相等的四边形是菱形

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2. 如图所示，在矩形 $A B C D$ 中， $A B > A D$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，下列说法正确的是（）

A、点O为矩形 $A B C D$ 的对称中心 B、点O为线段 $A B$ 的对称中心 C、直线 $B D$ 为矩形 $A B C D$ 的对称轴 D、直线 $A C$ 为线段 $B D$ 的对称轴

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3. 一技术人员用刻度尺（单位： $c m$ ）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知 $∠ A C B = 90 °$ ，点D为边 $A B$ 的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则 $C D =$ （）

A、 $3.5 c m$ B、 $3 c m$ C、 $4 c m$ D、 $6 c m$

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4. 下列命题是真命题的是（）

A、同位角相等 B、菱形的四条边相等 C、正五边形是中心对称图形 D、单项式 $5 a b^{2}$ 的次数是4

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5. 我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 $60 °$ ”．假设三角形没有一个内角小于或等于 $60 °$ ，即三个内角都大于 $60 °$ ．则三角形的三个内角的和大于 $180 °$ ，这与“三角形的内角和等于 $180 °$ ”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 $60 °$ ．上述推理使用的证明方法是（）

A、反证法 B、比较法 C、综合法 D、分析法

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6. 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A、AB＝CD B、AB∥CD C、∠A＝∠C D、BC＝AD

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二、填空题

7. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是个．

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8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $A B O C$ 是正方形，点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 1)$ ， $\overset{⌢}{A A_{1}}$ 是以点 $B$ 为圆心， $B A$ 为半径的圆弧； $\overset{⌢}{A_{1} A_{2}}$ 是以点 $O$ 为圆心， $O A_{1}$ 为半径的圆弧， $\overset{⌢}{A_{2} A_{3}}$ 是以点 $C$ 为圆心， $C A_{2}$ 为半径的圆弧， $\overset{⌢}{A_{3} A_{4}}$ 是以点 $A$ 为圆心， $A A_{3}$ 为半径的圆弧，继续以点 $B$ ， $O$ ， $C$ ， $A$ 为圆心按上述作法得到的曲线 $A A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} ⋯$ 称为正方形的“渐开线”，则点 $A_{2023}$ 的坐标是．

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三、综合题

9. 如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，四边形 $O A B C$ 为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点 $A (t ， 0)$ ，点 $P (1 ， 2)$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图像上

(1)、求k的值；

(2)、连接 $B P 、 C P$ ，记 $△ B C P$ 的面积为S，设 $T = 2 S - 2 t^{2}$ ，求T的最大值．

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10. 我们约定：若关于x的二次函数 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 与 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 同时满足 $\sqrt{a_{2} - c_{1}} + （ b_{2} + b_{1} ）^{2} + | c_{2} - a_{1} | = 0 ， b_{1} - {b_{2}}^{2023} \neq 0$ ，则称函数 $y_{1}$ 与函数 $y_{2}$ 互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：

(1)、若关于x的二次函数 $y_{1} = 2 x^{2} + k x + 3$ 与 $y_{2} = m x^{2} + x + n$ 互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；

(2)、对于任意非零实数r，s，点 $P (r ， t)$ 与点 $Q (s ， t) (r \neq s)$ 始终在关于x的函数 $y_{1} = x^{2} + 2 r x + s$ 的图像上运动，函数 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 互为“美美与共”函数．
①求函数 $y_{2}$ 的图像的对称轴；
②函数 $y_{2}$ 的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；

(3)、在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 与它的“美美与共”函数 $y_{2}$ 的图像顶点分别为点A，点B，函数 $y_{1}$ 的图像与x轴交于不同两点C，D，函数 $y_{2}$ 的图像与x轴交于不同两点E，F．当 $C D = E F$ 时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．

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11. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B (6 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 6)$ ．点D为线段 $B C$ 上的一动点．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、如图1，求 $△ A O D$ 周长的最小值；

(3)、如图2，过动点D作 $D P ∥ A C$ 交抛物线第一象限部分于点P，连接 $P A ， P B$ ，记 $△ P A D$ 与 $△ P B D$ 的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．

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12.

(1)、[问题探究]
如图1，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O．在线段 $A O$ 上任取一点P（端点除外），连接 $P D 、 P B$ ．

①求证： $P D = P B$ ；

②将线段 $D P$ 绕点P逆时针旋转，使点D落在 $B A$ 的延长线上的点Q处．当点P在线段 $A O$ 上的位置发生变化时， $∠ D P Q$ 的大小是否发生变化？请说明理由；

③探究 $A Q$ 与 $O P$ 的数量关系，并说明理由．

(2)、[迁移探究]
如图2，将正方形 $A B C D$ 换成菱形 $A B C D$ ，且 $∠ A B C = 60 °$ ，其他条件不变．试探究 $A Q$ 与 $C P$ 的数量关系，并说明理由．

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