2023年湖南省中考数学真题分类汇编：三角形

试卷更新日期：2023-07-30 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）

A、 $1 c m ， 2 c m ， 3 c m$ B、 $3 c m ， 8 c m ， 5 c m$ C、 $4 c m ， 5 c m ， 10 c m$ D、 $4 c m ， 5 c m ， 6 c m$

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2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）

A、1，3，4 B、2，2，7 C、4，5，7 D、3，3，6

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3. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边 $△ A B C$ 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边 $△ A B C$ 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（）

A、 $π$ B、 $3 π$ C、 $2 π$ D、 $2 π - \sqrt{3}$

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4. 下列说法错误的是（）

A、成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件 B、一元二次方程 $x^{2} + x + 3 = 0$ 有两个相等的实数根 C、任意多边形的外角和等于 $360 °$ D、三角形三条中线的交点叫作三角形的重心

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5. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在 $A B$ 上，且 $A D = \frac{1}{4} A B$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象经过点D及矩形 $O A B C$ 的对称中心M，连接 $O D ， O M ， D M$ ．若 $△ O D M$ 的面积为3，则k的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

6. 如图，①在 $O A ， O B$ 上分别截取线段 $O D ， O E$ ，使 $O D = O E$ ；②分别以 $D ， E$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径画弧，在 $∠ A O B$ 内两弧交于点 $C$ ；③作射线 $O C$ ．若 $∠ A O B = 60 °$ ，则 $∠ A O C =$ $°$ ．

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7. 如图，已知 $∠ A B C = 50 °$ ，点D在 $B A$ 上，以点B为圆心， $B D$ 长为半径画弧，交 $B C$ 于点E，连接 $D E$ ，则 $∠ B D E$ 的度数是度．

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8. 如图， $A O$ 为 $∠ B A C$ 的平分线，且 $∠ B A C = 50 °$ ，将四边形 $A B O C$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转后，得到四边形 $A B^{'} O^{'} C^{'}$ ，且 $∠ O A C^{'} = 100 °$ ，则四边形 $A B O C$ 旋转的角度是．

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9. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图． $\overset{⌢}{A B}$ 是以O为圆心， $O A$ 为半径的圆弧，C是弦 $A B$ 的中点，D在 $\overset{⌢}{A B}$ 上， $C D ⊥ A B$ ． “会圆术”给出 $\overset{⌢}{A B}$ 长l的近似值s计算公式： $s = A B + \frac{C D^{2}}{O A}$ ，当 $O A = 2$ ， $∠ A O B = 90 °$ 时， $| l - s | =$ ．（结果保留一位小数）

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 3 c m$ ， $∠ B = 60 °$ ．将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，若点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 恰好落在线段 $B C$ 上，则点 $C$ 的运动路径长是cm（结果用含 $π$ 的式子表示）．

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11. 《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣 $= \frac{1}{2}$ 矩，1欘 $= 1 \frac{1}{2}$ 宣（其中，1矩 $= 90 °$ ），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若 $∠ A = 1$ 矩， $∠ B = 1$ 欘，则 $∠ C =$ 度．

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 6$ ．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边 $A B$ 所在的直线相切时，r的值为．

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， A D = \sqrt{7}$ ，动点 $P$ 在矩形的边上沿 $B \to C \to D \to A$ 运动．当点 $P$ 不与点 $A 、 B$ 重合时，将 $△ A B P$ 沿 $A P$ 对折，得到 $△ A B^{'} P$ ，连接 $C B^{'}$ ，则在点 $P$ 的运动过程中，线段 $C B^{'}$ 的最小值为．

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三、作图题

14. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

(1)、尺规作图；作对角线 $A C$ 的垂直平分线 $M N$ （保留作图痕迹）；

(2)、若直线 $M N$ 分别交 $A D$ ， $B C$ 于 $E$ ， $F$ 两点，求证：四边形 $A F C E$ 是菱形

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四、综合题

15. $2023$ 年 $5$ 月 $30$ 日 $9$ 点 $31$ 分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面 $O$ 处发射，当飞船到达 $A$ 点时，从位于地面 $C$ 处的雷达站测得 $A C$ 的距离是 $8 k m$ ，仰角为 $30 °$ ； $10 s$ 后飞船到达 $B$ 处，此时测得仰角为 $45 °$ ．

(1)、求点 $A$ 离地面的高度 $A O$ ；

(2)、求飞船从 $A$ 处到 $B$ 处的平均速度．(结果精确到 $0.1 k m / s$ ，参考数据： $\sqrt{3}$ $\approx 1.73$ )

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16. 如图， $A B = A C$ ， $C D ⊥ A B$ ， $B E ⊥ A C$ ，垂足分别为 $D$ ， $E$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ A C D$ ；

(2)、若 $A E = 6$ ， $C D = 8$ ，求 $B D$ 的长．

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17. 如图，二次函数的图象与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点， $t a n ∠ A C O = \frac{1}{5}$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、求四边形 $A C D B$ 的面积；

(3)、P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若 $∠ A C O = ∠ P B C$ ，求P点的坐标．

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18. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，点D、E分别为 $A B 、 A C$ 的中点，点H在线段 $C E$ 上，连接 $B H$ ，点G、F分别为 $B H 、 C H$ 的中点．

(1)、求证：四边形 $D E F G$ 为平行四边形

(2)、 $D G ⊥ B H ， B D = 3 ， E F = 2$ ，求线段 $B G$ 的长度．

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19. 如图，点 $M$ 在 $▱ A B C D$ 的边 $A D$ 上， $B M = C M$ ，请从以下三个选项中① $∠ 1 = ∠ 2$ ；② $A M = D M$ ；③ $∠ 3 = ∠ 4$ ，选择一个合适的选项作为已知条件，使 $▱ A B C D$ 为矩形．

(1)、你添加的条件是（填序号）；

(2)、添加条件后，请证明 $▱ A B C D$ 为矩形．

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20. 如图，矩形 $A B C D$ 中，过对角线 $B D$ 的中点 $O$ 作 $B D$ 的垂线 $E F$ ，分别交 $A D$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ．

(1)、证明： $△ B O F ≌ △ D O E$ ；

(2)、连接 $B E$ 、 $D F$ ，证明：四边形 $E B F D$ 是菱形．

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21. 已知 $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D$ 是射线 $A B$ 上的一个动点，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $C E = A D$ ，连接 $D E$ 交射线 $A C$ 于点 $F$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 在线段 $A B$ 上时，猜测线段 $C F$ 与 $B D$ 的数量关系并说明理由；

(2)、如图2，当点 $D$ 在线段 $A B$ 的延长线上时，
①线段 $C F$ 与 $B D$ 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接 $A E$ ．设 $A B = 4$ ，若 $∠ A E B = ∠ D E B$ ，求四边形 $B D F C$ 的面积．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + x + c$ 经过点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B (4 ， 0)$ ，且与直线 $l ： y = - x - 1$ 交于 $D 、 E$ 两点（点 $D$ 在点 $E$ 的右侧），点 $M$ 为直线 $l$ 上的一动点，设点 $M$ 的横坐标为 $t$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，与拋物线交于点 $N$ ．若 $0 < t < 4$ ，求 $△ N E D$ 面积的最大值．

(3)、抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $R$ 为平面直角坐标系上一点，若以 $B 、 C 、 M 、 R$ 为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点 $R$ 的坐标．

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23. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $M ， N$ 分别为边 $A B ， B C$ 的中点，连接 $M N$ ．

(1)、初步尝试： $M N$ 与 $A C$ 的数量关系是， $M N$ 与 $A C$ 的位置关系是．

(2)、特例研讨：如图2，若 $∠ B A C = 90 ° ， B C = 4 \sqrt{2}$ ，先将 $△ B M N$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α$ （ $α$ 为锐角），得到 $△ B E F$ ，当点 $A ， E ， F$ 在同一直线上时， $A E$ 与 $B C$ 相交于点 $D$ ，连接 $C F$ ．
①求 $∠ B C F$ 的度数；
②求 $C D$ 的长．

(3)、深入探究：若 $∠ B A C < 90 °$ ，将 $△ B M N$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α$ ，得到 $△ B E F$ ，连接 $A E$ ， $C F$ ．当旋转角 $α$ 满足 $0 ° < α < 360 °$ ，点 $C ， E ， F$ 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究 $∠ B A E$ 与 $∠ A B F$ 的数量关系，并说明理由．

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24. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 3$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点B，与y轴交于点C，连接 $A C$ ，过B、C两点作直线．

(1)、求a的值．

(2)、将直线 $B C$ 向下平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，交抛物线于 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ 两点．在直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、抛物线上是否存在点P，使 $∠ P B C + ∠ A C O = 45 °$ ，若存在，请求出直线 $B P$ 的解析式；若不存在，请说明理由．

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