2023年湖南省中考数学真题分类汇编：相交线与平行线

试卷更新日期：2023-07-30 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $A B ∥ C D$ ，点 $E$ 在直线 $A B$ 上，点 $F ， G$ 在直线 $C D$ 上， $E G ⊥ E F$ 于点 $E ， ∠ A E F = 40 °$ ，则 $∠ E G F$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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2. 如图，平移直线 $A B$ 至 $C D$ ，直线 $A B$ ， $C D$ 被直线 $E F$ 所截， $∠ 1 = 60 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $100 °$ D、 $120 °$

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3. 如图，直线 $m ∥$ 直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接 $A B$ ，过点A作 $A C ⊥ A B$ ，交直线m于点C．若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（　　）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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4. 如图，已知直线 $A B ∥ C D$ ， $E G$ 平分 $∠ B E F$ ， $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $70 °$ B、 $50 °$ C、 $40 °$ D、 $140 °$

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5. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，E，F分别为 $A O$ ， $D O$ 上的一点，且 $E F ∥ A D$ ，连接 $A F ， D E$ ．若 $∠ F A C = 15 °$ ，则 $∠ A E D$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $90 °$ C、 $105 °$ D、 $115 °$

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6. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，若添加一个条件，使四边形 $A B C D$ 为平形四边形，则下列正确的是（）

A、 $A D = B C$ B、 $∠ A B D = ∠ B D C$ C、 $A B = A D$ D、 $∠ A = ∠ C$

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7. 如图，直线 $a ， b$ 被直线 $c$ 所截，已知 $a ∥ b ， ∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2$ 的大小为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $70 °$ D、 $130 °$

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二、填空题

8. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ， D是 $A B$ 上一点，且 $A D = 2$ ，过点D作 $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于E，将 $△ A D E$ 绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中 $\frac{B D}{C E}$ 的值为．

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9. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ， $∠ B$ 的平分线 $B E$ 交 $A D$ 于点E，则 $D E$ 的长为．

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10. 如图，点 $P$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上的一点， $P E ⊥ A D$ 于点 $E$ ， $P E = 3$ ．则点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离为．

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三、解答题

11. 今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形，座板 $C D$ 与地面 $M N$ 平行， $△ E B C$ 是等腰三角形且 $B C = C E$ ， $∠ F B A = 114.2 °$ ，靠背 $F C = 57 c m$ ，支架 $A N = 43 c m$ ，扶手的一部分 $B E = 16.4 c m$ ．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端 $F$ 点距地面（ $M N$ ）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据： $s i n 65.8 ° = 0.91$ ， $c o s 65.8 ° = 0.41$ ， $t a n 65.8 ° = 2.23$ ）

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四、综合题

12. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $D F$ 平分 $∠ A D C$ ，交 $B C$ 于点E，交 $A B$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $A D = A F$ ；

(2)、若 $A D = 6 ， A B = 3 ， ∠ A = 120 °$ ，求 $B F$ 的长和 $△ A D F$ 的面积．

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13. 如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且 $A D = B C$ ， $A E = B F$ ， $C E = D F$ ．

(1)、求证： $A E ∥ B F$ ；

(2)、若 $D F = F C$ 时，求证：四边形 $D E C F$ 是菱形．

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $A B$ 是直径， $C$ 是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A D$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 6$ ， $A C = 8$ ，求 $C E ， D E$ 的长．

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15. 如图， $C A ⊥ A D ， E D ⊥ A D$ ，点 $B$ 是线段 $A D$ 上的一点，且 $C B ⊥ B E$ ．已知 $A B = 8 ， A C = 6 ， D E = 4$ ．

(1)、证明： $△ A B C ∽ △ D E B$ ．

(2)、求线段 $B D$ 的长．

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16. 如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰 $P O Q$ 遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知 $∠ P O Q = 30 ° ， B C ∥ O Q$ ， $O C ⊥ O Q ， A O ⊥ O P$ ，线段 $A O$ 的延长线交直线 $B C$ 于点D．

(1)、求 $∠ C O D$ 的大小；

(2)、若在点B处测得点O在北偏西 $α$ 方向上，其中 $t a n α = \frac{\sqrt{3}}{5} ， O D = 12$ 米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D是 $B C$ 的中点，延长 $D A$ 至E，连接 $E B ， E C$ ．

(1)、求证： $△ B A E ≌ △ C A E$ ；

(2)、在如图1中，若 $A E = A D$ ，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作 $D F ⊥ A B$ 于F，设H是 $E C$ 的中点，过点H作 $H G ∥ A B$ 交 $F D$ 于G，交 $D E$ 于M．
求证：① $A F \cdot M H = A M \cdot A E$ ；
② $G F = G D$ ．

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18. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 上的一点，过点 $D$ 做 $B C$ 的平行线 $D E$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，点 $P$ 是线段 $D E$ 上的动点（点 $P$ 不与 $D 、 E$ 重合）．将 $△ A B P$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转 $60 °$ ，得到 $△ A C Q$ ，连接 $E Q 、 P Q ， P Q$ 交 $A C$ 于 $F$ ．

(1)、证明：在点 $P$ 的运动过程中，总有 $∠ P E Q = 120 °$ ．

(2)、当 $\frac{A P}{D P}$ 为何值时， $△ A Q F$ 是直角三角形？

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