2023年四川省中考数学真题分类汇编：锐角三角函数、投影与视图

试卷更新日期：2023-07-30 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（）

A、圆柱 B、圆锥 C、长方体 D、三棱柱

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3. 如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其主视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，小兵同学从 $A$ 处出发向正东方向走 $x$ 米到达 $B$ 处，再向正北方向走到 $C$ 处，已知 $∠ B A C = α$ ，则 $A$ ， $C$ 两处相距（）

A、 $\frac{x}{s i n α}$ 米 B、 $\frac{x}{c o s α}$ 米 C、 $x \cdot s i n α$ 米 D、 $x \cdot c o s α$ 米

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6. 由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（）

A、6 B、9 C、10 D、14

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7. 生活中一些常见的物体可以抽象成立体图形，以下立体图形中三视图形状相同的可能是（）

A、正方体 B、圆锥 C、圆柱 D、四棱锥

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8. 如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图中六棱柱的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

10. 一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．

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11. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有个.

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三、解答题

12. 某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：

实践探究活动记录表
活动内容测量湖边A、B两处的距离
成员组长：××× 组员：××××××××××××
测量工具测角仪，皮尺等
测量示意图		说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得 $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 的度数．
测量数据	角的度数	$∠ A = 30 °$
		$∠ B = 45 °$
		$∠ C = 105 °$
	边的长度	$B C = 40.0$ 米
		$A C = 56.4$ 米

数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．

(1)、

已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 ° ， ∠ B = 45 °$ ． ____．（从记录表中再选一个条件填入横线）

求：线段 $A B$ 的长．（为减小结果的误差，若有需要， $\sqrt{2}$ 取 $1.41$ ， $\sqrt{3}$ 取 $1.73$ ， $\sqrt{6}$ 取 $2.45$ 进行计算，最后结果保留整数．）

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13. 渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图 $1$ ），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离 $C D$ ，如图 $2$ ．在桥面上点 $A$ 处，测得 $A$ 到左桥墩 $D$ 的距离 $A D = 200$ 米，左桥墩所在塔顶 $B$ 的仰角 $∠ B A D = 45 °$ ，左桥墩底 $C$ 的俯角 $∠ C A D = 15 °$ ，求 $C D$ 的长度．（结果精确到 $1$ 米．参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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14. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1米；参考数据： $s i n 16 ° ≈ 0.28$ ， $c o s 16 ° ≈ 0.96$ ， $t a n 16 ° ≈ 0.29$ ）

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15. 如图，某数学兴趣小组为了测量古树 $D E$ 的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端 $D$ 在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为 $i = 2 ： \sqrt{3}$ 的斜坡 $A B$ 前进 $20 \sqrt{7} m$ 到达点 $B$ ，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点 $C$ ．在点 $C$ 处测得古树 $D E$ 的顶端 $E$ 的俯角为 $37 °$ ，底部 $D$ 的俯角为 $60 °$ ，求古树 $D E$ 的高度（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ，计算结果用根号表示，不取近似值）．

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四、综合题

16. “一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为 $120 °$ ，当其中一片风叶 $O B$ 与塔干 $O D$ 叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角 $∠ O E D = 45 °$ ，风叶 $O A$ 的视角 $∠ O E A = 30 °$ ．

(1)、已知α，β两角和的余弦公式为： $c o s (α + β) = c o s α c o s β - s i n α s i n β$ ，请利用公式计算 $c o s 75 °$ ；

(2)、求风叶 $O A$ 的长度．

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17. 为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

(1)、测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡 $A B ， B C ， C D$ ，山的高度即为三段坡面的铅直高度 $B H ， C Q ， D R$ 之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆 $M N ， M P$ 的一端放在坡面起始端A处，直杆 $M P$ 沿坡面 $A B$ 方向放置，在直杆 $M N$ 另一端N用细线系小重物G，当直杆 $M N$ 与铅垂线 $N G$ 重合时，测得两杆夹角 $α$ 的度数，由此可得山坡AB坡角 $β$ 的度数．请直接写出 $α ， β$ 之间的数量关系．

(2)、测量山高
同学们测得山坡 $A B ， B C ， C D$ 的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为 $24 ° ， 30 ° ， 45 °$ ；为求 $B H$ ，小熠同学在作业本上画了一个含 $24 °$ 角的 $R t △ T K S$ （如图3），量得 $K T \approx 5 c m ， T S \approx 2 c m$ ．求山高 $D F$ ．（ $\sqrt{2} \approx 1.41$ ，结果精确到1米）

(3)、测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于 $M N$ 的顶端，当 $M N$ 与铅垂线 $N G$ 重合时，转动直杆 $N P$ ，使点N，P，D共线，测得 $∠ M N P$ 的度数，从而得到山顶仰角 $β_{1}$ ，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角 $β_{2}$ ；画一个含 $β_{1}$ 的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为 $a_{1}$ 厘米， $b_{1}$ 厘米，再画一个含 $β_{2}$ 的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为 $a_{2}$ 厘米， $b_{2}$ 厘米．已知杆高MN为 $1.6$ 米，求山高 $D F$ ．（结果用不含 $β_{1} ， β_{2}$ 的字母表示）

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